Der Satz von Bendixson ist ein Resultat aus der numerischen Mathematik. Es wurde 1902 von Ivar Bendixson bewiesen. Der Satz gibt für eine Matrix () ein Gebiet in der komplexen Ebene an, in dem alle Eigenwerte der Matrix liegen. Insbesondere liefert er eine obere und untere Schranke für Real- und Imaginärteil eines Eigenwertes von .
Wertebereich einer Matrix Mit dem Wertebereich einer Matrix bezeichnen wir die Menge aller Rayleigh-Quotienten von :
Eigenschaftes des Wertebereichs:
Alle Eigenwerte von liegen in , weil für einen Eigenvektor von der Rayleigh-Quotient der entsprechende Eigenwert ist. ist zusammenhängend. Für eine hermitesche Matrix ist das reelle Intervall , wobei der kleinste und der größte Eigenwert von ist. Für eine schiefhermitesche Matrix ist Teilmenge der imaginären Achse, nämlich die konvexe Hülle der Menge aller Eigenwerte von .
Aussage des Satzes Wir zerlegen die Matrix in einen hermiteschen und einen schiefhermiteschen Summanden:. Dann sind alle Eigenwerte von in dem Rechteck
enthalten.
Beweis Dass ein Rechteck ist folgt daraus, dass hermitesch und somit ein reelles Intervall ist und daraus, dass schiefhermitesch und somit ein rein imaginäres Intervall ist.
Da alle Eigenwerte von in liegen, reicht es zu zeigen, dass gilt. Um das zu zeigen sei mit . Dann gilt:
Damit ist der Beweis vollendet.
Ungleichung von Bendixson (Abschätzung von Real- und Imaginärteil der Eigenwerte) Sei reelle Matrix und . Für einen Eigenwert von gilt:
.
Außerdem sei der kleinste und der größte Eigenwert von . Dann gilt:
.
Diese Abschätzungen ergeben sich leicht aus obigem Satz. Für den Realteil gilt, dass er in liegt und damit (nach obigen Bemerkungen zum Wertebereich) zwischen dem kleinsten und größten Eigenwert wie angegeben. Der Imaginärteil liegt in und ist daher von der Form mit einem Vektor der euklidischen Norm . Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist der Betrag des Imaginärteils also , wobei hier die Hilbert-Schmidt-Norm ist. Da als schiefsymmetrische Matrix auf der Diagonalen nur Nullen hat, kann man das gegen abschätzen.
Siehe auch
Satz von Gerschgorin Gerschgorin-Kreise Satz von Courant-Fischer Numerischer Wertebereich
Literatur
Kategorie:Numerische Mathematik Kategorie:Numerische lineare Algebra Bendixson, Satz von