mini|Eine rechtsgängige (oben) und eine linksgängige (unten) Boerdijk-Coxeter-Helix Die Boerdijk-Coxeter-Helix (nach Arie Hendrick Boerdijk und Harold Scott MacDonald Coxeter), auch Tetrahelix oder Bernal-Spirale (nach John Desmond Bernal) genannt, ist eine Anordnung regulärer Tetraeder entlang einer Geraden im dreidimensionalen euklidischen Raum. Jedes Tetraeder teilt sich jeweils eine seiner Seitenflächen mit zwei benachbarten Tetraedern, ein Nachbar „links“ und einer „rechts“ (siehe die nebenstehende Abbildung). Aufgrund ihrer Geometrie ergibt sich hieraus eine schraubenförmige Anordnung der Tetraeder. Sie existiert in zwei chiralen Formen: einer rechtsgängigen und einer linksgängigen Helix. Die Definition der Boerdijk-Coxeter-Helix kann auf euklidische und sphärische Räume beliebiger Dimension erweitert werden.
Konstruktionen der Boerdijk-Coxeter-Helix Die Boerdijk-Coxeter-Helix kann durch explizite Berechnung ihrer Eckpunkte, Kanten und Seitenflächen konstruiert werden. Außerdem kann sie durch Schraubungen oder durch wiederholte Spiegelungen eines Ursprungstetraeders erzeugt werden. Diese Konstruktionen werden in den folgenden Abschnitten beschrieben.
Konstruktion über Eckpunkte Die Eckpunkte einer Boerdijk-Coxeter-Helix liegen auf der Oberfläche eines Zylinders. Sie sind gegeben durch:
Dabei sind , und eine ganze Zahl (). Falls das Vorzeichen von positiv gewählt wird, ergibt sich eine rechtsgängige Helix, ansonsten eine linksgängige. Der Radius des Zylinders ist 1.
Die Kanten der Boerdijk-Coxeter-Helix sind dadurch gegeben, dass die Ecken in Schritten von 1, 2 und 3 miteinander verbunden werden. Die Kanten sind also gegeben durch , und , . Die Länge der Kanten ist . Die Seitenflächen ergeben sich unmittelbar aus den Kanten. Die Anzahl der Kanten der Schrittweite 1 pro Umdrehung ist gegeben durch . Da dies eine irrationale Zahl ist, besitzt keines der Tetraeder dieselbe Orientierung.
Konstruktion über Schraubungen Wenn die Punkte , , und als die Ecken des Ursprungstetraeders gewählt werden, ist die Schraubung, die die Ecken eines Tetraeders in die Ecken des nächsten Tetraeders transformiert, gegeben durch:
Dabei ist die Matrix als erweiterte Abbildungsmatrix in homogenen Koordinaten zu interpretieren. Die Gleichung der Schraubungsachse ist , der Schraubungswinkel und der Schraubungsabstand . Letzterer ist größer als der Parameter bei der Konstruktion über Eckpunkte, da das Ursprungstetraeder um den Faktor größer ist. Alle Tetraeder der Boerdijk-Coxeter-Helix lassen sich erzeugen, indem die Matrizen auf das Ursprungstetraeder angewendet werden. Dadurch wird eine rechtsgängige Helix erzeugt. Um eine linksgängige Helix zu erzeugen, müssen die Ecken des Ursprungstetraeders in der folgenden Reihenfolge verwendet werden: , , , . Es ergibt sich folgende Matrix:
Die Gleichung der Schraubungsachse ist , der Schraubungswinkel und der Schraubungsabstand bleibt unverändert. Da das Ursprungstetraeder nur ganzzahlige Koordinaten enthält und die Matrizen nur rationale Einträge besitzen, zeigt dies, dass sich, trotz der oben beschriebenen Irrationalität des Rotationswinkels , alle Ecken der Boerdijk-Coxeter-Helix als rationale Zahlen darstellen lassen.
Konstruktion über Spiegelungen Es seien , , und die Ecken des Ursprungstetraeders, die, wie notiert, als Zeilenvektoren zu lesen sind. Wenn der Punkt durch die von aufgespannte, gegenüberliegende Seitenfläche des Tetraeders gespiegelt wird, wird ein neuer Eckpunkt erzeugt. Die Koordinaten des durch die Spiegelung erzeugten Tetraeders lassen sich durch die folgende Matrixtransformation beschreiben:
Dabei ist das Element, das durch die 4×4-Matrix transformiert wird, eine 4×3-Matrix, in der die vier Punkte als Zeilenvektoren enthalten sind. Analoge Matrixtransformationen können für die Spiegelungen in den übrigen drei Seitenflächen des Tetraeders berechnet werden. Diese Matrizen seien mit , und bezeichnet. Damit lässt sich eine Matrix berechnen, die aus vier Ecken eines Tetraeders vier neue berechnet:
Alle Tetraeder der Boerdijk-Coxeter-Helix lassen sich erzeugen, indem die Matrizen auf das Ursprungstetraeder angewendet werden. Dadurch wird eine rechtsgängige Helix erzeugt. Eine linksgängige Helix wird durch eine Permutation der generierenden Matrizen mit umgekehrten Vorzeichen erzeugt, beispielsweise . Auch bei dieser Konstruktion zeigt sich, dass sich alle Ecken der Boerdijk-Coxeter-Helix als rationale Zahlen darstellen lassen.
Visualisierung der Boerdijk-Coxeter-Helix thumbtime=10|mini|Visualisierung einer rechts- und einer linksgängigen Boerdijk-Coxeter-Helix aus 30 Tetraedern mini|Dreidimensionales Modell einer rechtsgängigen Boerdijk-Coxeter-Helix aus 30 Tetraedern mini|Dreidimensionales Modell einer linksgängigen Boerdijk-Coxeter-Helix aus 30 Tetraedern mini|Orthogonalprojektion der Ecken und Kanten einer aus 31 Ecken bestehenden Boerdijk-Coxeter-Helix entlang ihrer Achse mini|Zylinder im Inneren einer aus Magnetstäben und Metallkugeln konstruierten Boerdijk-Coxeter-Helix Im Video in diesem Abschnitt werden zwei Boerdijk-Coxeter-Helices, jeweils bestehend aus 30 Tetraedern, visualisiert. Die obere Helix ist rechtsgängig, die untere linksgängig. Beide Helices rotieren während des gesamten Videos, um ihre Geometrie besser zu veranschaulichen. Die obere Helix rotiert im Gegenuhrzeigersinn, die untere im Uhrzeigersinn (wenn die Helices von rechts aus entlang ihrer Achse betrachtet werden). Am Anfang des Videos werden die Tetraeder durch ihre Seitenflächen visualisiert. Während die Helices rotieren, kann beobachtet werden, dass ihre Ecken horizontal von links nach rechts entlang des oben beschriebenen Zylinders angeordnet sind.
Nach zwei Umdrehungen werden die Kanten der Tetraeder langsam eingeblendet. Die Kanten der Schrittweite 1 (siehe den Abschnitt Konstruktion über Eckpunkte) werden cyanfarben dargestellt. Sie haben dieselbe Windungsrichtung wie die zugehörige Tetraederhelix: die obere cyanfarbige Helix ist rechtsgängig, die untere linksgängig. Wie oben beschrieben ist der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ecken der Helix . Daraus folgt, dass die Ecke mit der Ecke einen sehr kleinen Winkel von bezüglich der Zylinderachse einschließt. Die cyanfarbige Helix windet sich also in 30 Schritten etwas weniger als elfmal um die Zylinderachse. Beim Betrachten des Videos ist zu beachten, dass die cyanfarbige Helix 33 Ecken (32 Kanten) umfasst, da 30 Tetraeder dargestellt werden. Um die elf Windungen zu beobachten, muss also beispielsweise die erste Ecke mit der drittletzten verglichen werden.
Die zwei Sätze an Kanten der Schrittweite 2 (entsprechend gerade oder ungerade) werden magentafarben dargestellt. Sie haben die entgegengesetzte Windungsrichtung wie die zugehörige Tetraederhelix: die oberen magentafarbenen Helices sind linksgängig, die unteren rechtsgängig. Der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ecken jeder der beiden Helices ist . In 15 Schritten winden sich die beiden Helices jeweils etwas mehr als viermal um die Zylinderachse. Da im Video 30 Tetraeder dargestellt werden, hat eine Helix 17 Ecken (16 Kanten) und die andere 16 Ecken (15 Kanten). Je nachdem, welche der beiden Helices betrachtet wird, muss also die erste Ecke mit der vorletzten oder letzten verglichen werden, um die vier Windungen zu beobachten.
Die drei Sätze an Kanten der Schrittweite 3 (entsprechend ) werden orangefarben dargestellt. Sie haben dieselbe Windungsrichtung wie die zugehörige Tetraederhelix: die oberen orangefarbenen Helices sind rechtsgängig, die unteren linksgängig. Der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ecken jeder der drei Helices ist . In zehn Schritten winden sich die drei Helices jeweils etwas weniger als einmal um die Zylinderachse. Im Video hat jede der drei Helices elf Ecken (zehn Kanten). Daher kann die eine Windung an jeder der drei Helices beobachtet werden.
Die drei Arten der Kanten der Schrittweiten 1, 2 und 3 bilden jeweils schraubenförmige räumliche Polygone. Nachdem sie eingeblendet wurden, werden die Tetraeder langsam ausgeblendet. In den letzten beiden Umdrehungen werden die Boerdijk-Coxeter-Helices nur noch durch die drei Arten von Polygonen visualisiert.
Die erste und zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigen dreidimensionale Modelle einer rechts- und linksgängigen Boerdijk-Coxeter-Helix. Die Modelle können im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
In der dritten Abbildung in diesem Abschnitt wird eine Orthogonalprojektion der Ecken und Kanten einer aus 31 Ecken bestehenden Boerdijk-Coxeter-Helix entlang ihrer Achse dargestellt. Die Farbkodierung der Kanten ist identisch mit der im Video. Es kann beobachtet werden, dass die Ecken der Helix unregelmäßig auf der Mantelfläche des Zylinders verteilt sind. Die Ecken und sind die beiden am weitesten rechts liegenden Ecken, von denen jeweils nur eine cyanfarbene Kante ausgeht. Der Winkel von zwischen diesen beiden Ecken ist erkennbar. Die Abbildung veranschaulicht außerdem, dass die cyanfarbenen Kanten einen Zylinder im Inneren der Helix einhüllen. Sein Radius beträgt . Die vierte Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine aus Magnetstäben und Metallkugeln konstruierte Helix zusammen mit dem eingehüllten Zylinder.
Erweiterung auf euklidische Räume beliebiger Dimension Die Konstruktion der Boerdijk-Coxeter-Helix kann auf euklidische Räume beliebiger Dimension erweitert werden. Am einfachsten ist dies aus der oben beschriebenen Konstruktion durch Spiegelungen ersichtlich. Die Konstruktion beginnt mit einem regulären d-Simplex, bestehend aus den Punkten . Aus diesem kann durch Spiegelung des Punktes in der durch bestimmten, gegenüberliegenden Hyperebene der nächste Punkt der Helix berechnet werden. Dies kann durch folgende Matrixtransformation beschrieben werden:
Hierbei ist und
Wie beim dreidimensionalen Fall bilden jeweils aufeinanderfolgende Punkte ein d-Simplex.
mini|Zweidimensionale Boerdijk-Coxeter-Helix Für liefert diese Konstruktion eine Aneinanderreihung gleich langer Strecken. Für ergibt sich ein durch zwei parallele Geraden begrenzter Streifen aus gleichseitigen Dreiecken, bei dem die Dreiecke abwechselnd mit einer ihrer Spitzen zu einer der beiden Geraden orientiert sind. Die nebenstehende Abbildung zeigt einen aus sechs Dreiecken bestehenden Ausschnitt aus einer zweidimensionalen Boerdijk-Coxeter-Helix. Im Gegensatz zu den Dimensionen sind die ein- und zweidimensionalen Helices achiral. Für die Fälle lässt sich aus der Konstruktion über Spiegelungen auch jeweils eine Konstruktion über Eckpunkte herleiten, bei der die Punkte durch Auswertung expliziter Formeln berechnet werden können.
thumbtime=0|mini|Visualisierung einer vierdimensionalen Boerdijk-Coxeter-Helix aus zwölf 5-Zellen