Ko- und kontravariante Modellstrukturen sind im mathematischen Teilgebiet der Höheren Kategorientheorie jeweils Modellstrukturen auf der Scheibenkategorie der Kategorie der simplizialen Kategorie. Auf diesen induzieren Postkomposition und Faserprodukte (durch die Verwendung in der Algebraischen Geometrie auch als Basiswechsel bezeichnet) jeweils adjungierte Funktoren, welche mit den Modellstrukturen sogar Quillen-Adjunktionen bilden können.
Definition Sei eine simpliziale Menge, dann ergibt sich eine Scheibenkategorie . Mit der Wahl einer Modellstruktur auf , etwa der Joyal- oder Kan-Quillen-Modellstruktur, induziert diese eine Modellstruktur auf der Scheibenkategorie .
Kovariante Kofaserungen sind Monomorphismen. Kovariant fasernde Objekte sind die linksfasernden Objekte über . Kovariante Faserungen zwischen zwei solchen linksfasernden Objekten über sind genau die Linksfaserungen.Lurie 2009, Definition 2.1.4.5.Cisinski 2019, Theorem 4.4.14 Kontravariante Kofaserungen sind Monomorphismen. Kontravariant fasernde Objekte sind die rechtsfasernden Objekte über . Kontravariante Faserungen zwischen zwei solchen rechtsfasernden Objekten über sind genau die Rechtsfaserungen.Cisinski 2019, Theorem 4.1.5
Die Scheibenkategorie mit der ko- und kontravarianten Modellstruktur wird als und notiert.
Eigenschaften
Die kovariante Modellstruktur ist linkseigentlich und kombinatorisch.Lurie 2009, Proposition 2.1.4.7.
Homotopiekategorien Für jede Modellkategorie gibt es eine Homotopiekategorie durch formale Invertierung aller schwachen Äquivalenzen. In der homotopischen Algebra sind dabei insbesondere die ko- und kontravarianten Modellstrukturen der Kan-Quillen-Modellstruktur interessant, deren schwache Äquivalenzen die schwachen Homotopieäquivalenzen sind. Für eine simpliziale Menge sei:Lurie 2009, Notation 2.2.3.8.Cisinski 2019, 4.4.8. & 4.4.19.
Da das terminale Objekt von ist, gilt insbesondere:Cisinski 2019, Eq. (4.4.21.2)
Da der Funktor der dualen simplizialen Menge eine Quillen-Äquivalenz zwischen ko- und kontravarianter Modellstruktur ist, gilt:Cisinski 2019, Eq (4.4.19.1)
Quillen-Adjunktionen Sei ein Morphismus simplizialer Mengen, dann gibt es einen Funktor durch Postkomposition und einen Funktor durch Faserprodukte mit einer Adjunktion . Da letzterer mit allen Kolimiten kommutiert, gibt es ebenfalls einen rechtsadjungierten Funktor mit einer Adjunktion . Für die kontravariante Modellstruktur (der Kan-Quillen-Modellstruktur) ist die vordere Adjunktion immer eine Quillen-Adjunktion,Cisinski 2019, Proposition 4.4.6. während die hintere eine für eigentlich ist.Cisinski 2019, Proposition 4.4.7. Dabei ergeben sich abgeleitete Adjunktionen:Cisinski 2019, Equation (4.4.8.2) & Equation (4.4.8.3)
Eigenschaften
Für einen Funktor von ∞-Kategorien sind äquivalent:Cisinski 2019, Proposition 4.5.2. is volltreu. ist volltreu. ist volltreu. Für einen essentiell surjektiven Funktor von ∞-Kategorien ist der Funktor konservativ.Cisinski 2019, Proposition 4.5.5. Jede Äquivalenz von ∞-Kategorien induziert eine Kategorienäquivalenz:Cisinski 2019, Corollary 4.5.6.
Alle inneren Horninklusionen (mit und ) induzieren eine Kategorienäquivalenz:Cisinski 2019, Proposition 5.2.1.
Siehe auch
Injektive und projektive Modellstruktur, induzierte Modellstruktur auf Funktorkategorien
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie