In der Mathematik ist der Begriff des Lie-Algebroids eine Verallgemeinerung des Begriffs der Lie-Algebra, der es ermöglicht, Fragen über Lie-Gruppoide zu lokalisieren.
Definition
Ein Lie-Algebroid besteht aus
einem Vektorbündel über einer Mannigfaltigkeit , einer Lie-Klammer auf dem Raum der Schnitte , einem Vektorbündelmorphismus , dem sogenannten Anker, wobei das Tangentialbündel von ist,
so dass der Anker und die Lie-Klammer die Leibniz-Regel
für beliebige erfüllen. Hier ist die Lie-Ableitung von nach dem Vektorfeld .
Beispiele
Das Tangential-Lie-Algebroid einer Mannigfaltigkeit ist das Tangentialbündel mit der Lie-Klammer von Vektorfeldern und der Identität als Anker. Eine Lie-Algebra ist ein Lie-Algebroid über dem Punkt. Ein Bündel von Lie-Algebren ist ein Lie-Algebroid mit punktweise definierter Lie-Klammer und der Nullabbildung als Anker. Für die Wirkung einer Lie-Algebra auf einer Mannigfaltigkeit definiert man das Wirkungsgruppoid als mit der Wirkungsabbildung als Anker und der durch die Klammer auf konstanten Schnitten und die Leibniz-Regel eindeutig festgelegten Lie-Klammer. Für ein -Hauptfaserbündel definiert man das Atiyah-Algebroid als .
Weblinks
Lie algebroid (nLab) E. Meinrenken: Lie algebroids
Kategorie:Differentialtopologie