Die Ungleichung von Grüß () ist eine klassische Integralungleichung der Mathematik und als solche der Analysis zugehörig. Sie geht auf eine Publikation des Mathematikers Gerhard Christian Grüß aus dem Jahre 1935 zurück und gibt eine Abschätzung für Integralmittelwerte von Produkten gewisser integrierbarer Funktionen.D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 70ff.
Mit der Grüß’schen Ungleichung ist eine andere klassische Integralungleichung verbunden, die der Mathematiker Alexander Markowitsch Ostrowski im Jahre 1938 geliefert hat. Beide Ungleichungen zogen in den letzten Jahrzehnten eine Anzahl von weitergehenden Untersuchungen nach sich. Die hierbei gefundenen Verallgemeinerungen und Verschärfungen werden in englischsprachigen Publikationen oft als Ostrowski-Grüss-type inequalities oder Grüss-type inequalities o. ä. bezeichnet.
Die Grüß’sche Ungleichung Sie lässt sich angeben wie folgt:D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 70 Gegeben seien im Körper der reellen Zahlen ein abgeschlossenes Intervall und darauf zwei Riemann-integrierbare Funktionen .Gemäß dem bekannten (von Henri Lebesgue und Giuseppe Vitali im Jahre 1904 bewiesenen) Kriterium ist eine beschränkte Funktion genau dann Riemann-integrierbar, wenn die Menge der Unstetigkeitsstellen von nach dem Lebesgue-Maß eine Nullmenge ist. (Jürgen Elstrodt, op. cit., S. 151–152)
Weiter gegeben seien reelle Konstanten derart, dass für stets die Beziehungen
und
bestehen.
Ferner sei
gesetzt.Hierbei ist die Betragsfunktion.Die Größe ist also die Differenz zwischen dem Integralmittelwert der aus beiden Funktionen gebildeten Produktfunktion und dem Produkt der beiden zu diesen Funktionen gebildeten Integralmittelwerte .
Dann gilt die Ungleichung .
Der Faktor ist dabei unter den genannten Voraussetzungen der bestmögliche.Der Beweis lässt sich im Wesentlichen mit der Cauchy-Bunjakowski-Schwarz-Ungleichung führen.
Die Ostrowski’sche Ungleichung Diese besagt folgendes:D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 297
Wie oben seien das Intervall gegeben und hierauf eine stetige Funktion , deren Einschränkung differenzierbar sein soll, und ferner eine reelle Konstante , so dass für jede reelle Zahl stets
gilt.
Ist dann für
gesetzt,Hier wird also die Differenz zwischen einem Funktionswert und dem Integralmittelwert der Funktion betrachtet.
so gilt stets die Ungleichung .
Verwandte Ostrowski-Ungleichung In der Online-Enzyklopädie MathWorld (s. .u.) wird Alexander Ostrowski unter dem Stichwort Ostrowski's Inequality eine verwandte Integralungleichung zugewiesen, welche ebenfalls die Abschätzung von Produkten gewisser integrierbarer Funktionen behandelt. Sie lässt sich folgendermaßen formulieren:
Sind (wie oben) auf zwei Riemann-integrierbare Funktionen gegeben und ist dabei monoton wachsend und zudem ,
so gilt stets die Ungleichung .
Analoge Ungleichung für Quotienten Der serbische Mathematiker Jovan Karamata (1902–1967) zeigte im Jahre 1948 ein Analogon der Ungleichung von Grüß, welches anstelle der dort auftretenden Differenzen von Quotienten ausgeht, wobei von vornherein das Einheitsintervall zugrunde gelegt wird. Diese Ungleichung besagt folgendes:D. S. Mitrinović: Analytic Inequalities. 1970, S. 73
Gegeben seien auf dem Einheitsintervall (wie oben) zwei Riemann-integrierbare Funktionen und dazu positive reelle Konstanten mit
und
für alle .
Ferner sollen
und
sein.
Dann ist
und es gelten die Abschätzungen . Wie D.S. Mitrinović in seiner Monographie hervorhebt (op. cit., S. 73), beruht der Beweis dieser Ungleichung von Karamata wesentlich auf einem allgemeinen Resultat, welches von einem A. Bilimović geliefert wurde. Den Wikidata bzw. der Datenbank zbMATH Open zufolge wird es sich um den russischen Mathematiker Anton Bilimovich (1879–1970) (oder auch Anton D. Bilimovitch) handeln.
Literatur
Weblinks
Einzelnachweise
Anmerkungen
Erläuterungen
Kategorie:Analysis Grüß