In der Mathematik ist die Grünwald–Letnikov-Ableitung eine grundlegende Erweiterung der Ableitung in der fraktionalen Infinitesimalrechnung, die es ermöglicht, eine Ableitung nicht-ganzzahliger Ordnung zu berechnen. Sie wurde 1867 von Anton Karl Grünwald (1838–1920) und 1868 von Alexei Wassiljewitsch Letnikow (1837–1888) eingeführt.
Konstruktion der Grünwald-Letnikov-Ableitung Die Formel
für die Ableitung kann rekursiv angewendet werden, um Ableitungen höherer Ordnung zu erhalten. Die Ableitung zweiter Ordnung wäre zum Beispiel:
Unter der Annahme, dass die hs synchron konvergieren, vereinfacht sich dies zu:
was sich durch den Mittelwertsatz begründen lässt. Allgemein gilt (siehe Binomialkoeffizient):
Durch Aufhebung der Einschränkung, dass n eine positive ganze Zahl ist, liegt es nahe
zu definieren
Dies definiert die Grünwald-Letnikov-Ableitung.
Um Notation zu vereinfachen, setzen wir:
Dann kann die Grünwald-Letnikov-Ableitung als:
geschrieben werden.
Eine alternative Definition Im vorhergehenden Abschnitt wurde die allgemeine Formel für Ableitungen ganzzahliger Ordnung hergeleitet. Es lässt sich zeigen, dass die Gleichung auch geschrieben werden kann als:
oder durch Aufhebung der Einschränkung, dass n eine positive ganze Zahl sein muss:
Diese Gleichung ist die rückwärts gerichtete Grünwald-Letnikov-Ableitung. Unter der Substitution h → −h wird die entstehende Gleichung als direkte Grünwald-Leitnikov-Ableitung bezeichnet:Ortigueira, Manuel Duarte; Coito, Fernando (2004), "From differences to derivatives"(PDF; 0,2 MB), Fractional Calculus & Applied Analysis, 7 (4): 459-471, MR 2251527
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis