In der Mathematik ist das Weylsche fraktionale Integral auch Weyl-Integral (benannt nach Hermann Weyl) ein Operator, der im Rahmen der fraktionalen Infinitesimalrechnung definiert und ein Spezialfall des Riemann-Liouville-Integrals ist.
Weylsches fraktionales Integral Das Riemann-Liouville-Integral ist definiert als
mit
Das Weylsche fraktionale Integral ist die auf periodische Funktionen übertragene (bzw. Fourier-analytische) Variante dieses Operators für hinreichend reguläre Funktionen.
Definition Das Weylsche fraktionale Integral wirkt auf Funktionen auf dem Einheitskreis, deren Integral Null ist und die eine Fourierreihe besitzen. Mit anderen Worten: Die Funktion besitzt eine Fourierreihe der Form:
wobei ist. Dann ist der Weyl-Integral-Operator -ter Ordnung definiert als .
Hier kann jeden beliebigen reellen Wert annehmen. Für ganzzahlige Werte von entspricht die Fourierreihe der erwarteten -ten Ableitung, für , beziehungsweise der erwarteten ()-ten Stammfunktion, normiert durch Integration ab .
Die Bedingung sorgt hier dafür, im Falle negativer eine Division durch Null auszuschließen. Diese Definition stammt von Hermann Weyl.
Belege P. I. Lizorkin (2001) , Fractional integration and differentiation. Encyclopedia of Mathematics, EMS Press (englisch)
Kategorie:Analysis