AB-Kategorien sind im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie spezielle Kategorien, die zusätzliche Eigenschaften erfüllen. Diese wurden von Alexander Grothendieck in seinem Tohoku-Paper aus dem Jahr 1957 als AB1, AB2, AB3, AB4 und AB5 bezeichnet. AB steht dabei für abelsche Kategorien (französisch catégorie abeliénne), die unter anderen von den Eigenschaften festgelegt werden.
AB-Eigenschaften Sei eine Kategorie:
AB1: ist eine präabelsche Kategorie (auch AB1-Kategorie genannt).Tohoku-Paper, S. 127
AB2: ist eine abelsche Kategorie (auch AB2-Kategorie genannt).
AB3: hat alle Koprodukte.Tohoku-Paper, S. 128 AB3*: hat alle Produkte. AB4: hat alle Koprodukte (AB3) und diese sind exakt, also alle Koprodukte von Monomorphismen monisch.Tohoku-Paper, S. 129 AB4*: hat alle Produkte (AB3) und diese sind exakt, also alle Produkte von Epimorphismen episch. AB5: hat alle Koprodukte (AB3) und filtrierte Kolimiten sind exakt. AB5*: hat alle Produkte (AB3) und kofiltrierte Limiten sind exakt.
AB3-Kategorien, die AB1, AB2 und AB3 erfüllen, sind genau abelsche Kategorien, in denen alle Produkte existieren, wodurch mit der Existenz von Quotienten sogar alle Limiten existieren. AB5-Kategorien, die AB1, AB2, AB3, AB4 und AB5 erfüllen, sind abelsche Kategorien, in denen alle Limiten existieren und gefilterte Limiten von exakten Sequenzen wieder exakt sind.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie