Das Hurewicz-Theorem ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein grundlegendes Resultat zur Verbindung von Homotopietheorie mit Homologietheorie durch den Hurewicz-Homomorphismus. Ein analoges Theorem und ein analoger Homomorphismus verbindet Kohomotopietheorie mit Kohomologietheorie. Das Theorem ist nach Witold Hurewicz benannt und verallgemeinert frühere Resultate von Henri Poincaré.
Hurewicz-Homomorphimus Sei ein Generator. Für einen wegzusammenhängenden Raum ist die Abbildung:
der Hurewicz-Homomorphismus.Hatcher 2002, S. 370
Sei die Abbildung, welche den Äquator der Sphäre auf einen Punkt kollabiert, dann ist für Homotopieklassen ihre Verknüpfung gegeben durch . Dadurch gilt:
Darüber hinaus ist der Hurewicz-Homomorphismus (ähnlich wie etwa auch der Frobenius-Homomorphismus) sogar kompatibel mit einem Wechsel des zugrundeliegenden Raumes und dadurch sogar eine natürliche Transformation . Für eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und , welche jeweils Gruppenhomomorphismen und induziert, da Homotopie- und Homologiegruppen jeweils Funktoren sind, gilt:
Hurewicz-Theorem
Sei , dann induziert der Hurewicz-Homomorphismus einen Isomorphismus von der abelisierten Fundamentalgruppe in die erste singuläre Homologiegruppe. Sei und zusätzlich -zusammenhängend, also für , weshalb die erste nichttriviale Homotopiegruppe ist. Dann sind die Hurewicz-Homomorphismen jeweils Isomorphismen für , womit ebenfalls für sowie . Darüber hinaus ist der Hurewicz-Homomorphismus surjektiv.Hatcher 2002, Theorem 4.32 auf S. 366
Hurewicz-Abbildung Neben dem Hurewicz-Homomorphismus gibt es ebenfalls die Hurewicz-Abbildung, welche Kohomotopiemengen und Kohomologiegruppen verbindet. Da Kohomotopiemengen im Allgemeinen jedoch keine Struktur tragen und daher im Vergleich zu Homotopiegruppen bereits von untergeordnetem Interesse sind, gilt das gleiche für die Hurewicz-Abbildung. Nichtsdestotrotz ist ihre Konstruktion elegant und einsichtsvoll. Sowohl Kohomotopie und singuläre Kohomologie sind darstellbare Funktoren, nämlich durch die Sphäre und Eilenberg-MacLane-Räume:
Nach dem Yoneda-Lemma ist eine natürliche Transformation äquivalent gegeben durch eine stetige Abbildung . Eine solche ergibt sich tatsächlich kanonisch aus dem Postnikov-Turm der Sphäre, bei der ihre Homotopiegruppen von oben entfernt werden, bis nur noch übrig bleibt.
Literatur
Weblinks
Hurewicz theorem auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie