mini|hochkant=1.2|Abbildung 1. Stationärer Verlauf der normierten Ausgangsleistung in Abhängigkeit von der normierten Eingangsleistung für . Die stationären Zustände im negativen Steigungsabschnitt sind instabil. Die Pfeile zeigen den Hysteresezyklus, der durchlaufen wird, wenn vergrößert und anschließend verkleinert wird. Die Lugiato-Lefever-Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung, die in der nichtlinearen Optik verwendet wird, insbesondere zur Beschreibung der Lichtdynamik in optischen Resonatoren mit nichtlinearer Wechselwirkung und Dispersion. Sie wurde 1987 von Luigi Lugiato und Renzo Lefever eingeführt, die einen mit einem Medium mit nichtlinearem Brechungsindex gefüllten Hohlraum betrachteten, der aus vier Spiegeln besteht: Zwei orthogonal zur Längskoordinate im Abstand mit einem Transmissionskoeffizienten und zwei orthogonal zur Querkoordinate im Abstand mit einem Reflexionsgrad von 100 %. Ein kohärentes, stationäres, ebenes Wellenfeld wird in Längsrichtung in den Hohlraum eingespeist. Das elektrische Feld ist in Richtung linear polarisiert und hat die Struktur , wobei die Frequenz des Pumpfeldes und mit der positiven ganzen Zahl ist.
Mit den Größen:
|style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Normierte zeitliche Variable; |- |style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Normierte räumliche Variable; |- |style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Hohlraumabklingrate oder Hohlraumlinienbreite; |- |style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Verstimmungsparameter des Hohlraums; |- |style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Die Frequenz am nächsten liegende Hohlraumfrequenz; |- |style="text-align:center;"| ||style="padding-left:1em"| Die Nichtlinearität ist selbstfokussierend für oder selbstdefokussierend für . |} erfüllt das vom System erzeugte Feld die nichtlineare partielle Differentialgleichung:
Auf der rechten Seite von Gleichung (1) ist die normierte Amplitude des in den Hohlraum injizierten Eingangsfeldes, der erste ist der Abklingterm, der dritte der kubisch nichtlineare Term, der das Kerr-Medium berücksichtigt, der vierte ist der Verstimmungsterm und der letzte Term beschreibt die Beugung in paraxialer Näherung mit als Parameter des transversalen Resonators.
Die Lugiato-Lefever-Gleichung behandelt die Dynamik der Lichtintensität in einem optischen Resonator mit Verlusten, Dispersion, nichtlinearen Wechselwirkungen wie dem Kerr-Effekt und einem externen Pumplaser. Sie kann unter Berücksichtigung der Langzeitdynamik in einem Resonator aus den Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.
Die Lugiato-Lefever-Gleichung (1) beschreibt nichtlineare optische Effekte in Mikroresonatoren und ist eng verwandt mit der nichtlinearen Schrödingergleichung. Sie beschreibt die spontane Musterbildung in nichtlinearen optischen Systemen. Die Muster entstehen durch die Wechselwirkung eines kohärenten Feldes, das in einen resonanten optischen Resonator eingespeist wird, mit einem Kerr-Medium, das den Resonator ausfüllt.
Für den Fall der stationären Lösung der elektrischen Feldstärke aus (1), die unabhängig von der Ortsvariablen ist, erhält man die stationäre Gleichung:
Für ist die stationäre Gleichung für als Funktion von einwertig, während für die Kurve mehrwertig wird, was zu bistabilem Verhalten führt, wie in Abbildung 1 dargestellt.
Herleitung der Lugiato-Lefever-Gleichung Die numerische Modellierung von Lasern und den meisten nichtlinearen optischen Systemen basiert auf den Maxwell-Bloch-Gleichungen (MBE). Dieser vollständige Satz von partiellen Differentialgleichungen enthält die Maxwell-Gleichungen für das elektromagnetische Feld und die semiklassischen Gleichungen für Zwei- (oder Mehr-) Niveau-Atome. Zur Beschreibung wurden seit Beginn des Laserzeitalters vereinfachte theoretische Ansätze zur numerischen Simulation der Entstehung und Ausbreitung von Laserstrahlen entwickelt.
Um die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem nichtlinearen Medium zu verstehen, betrachtet man zunächst die allgemeine Form der Wellengleichung mit nichtlinearer Polarisation als Quelle: Von den Maxwell-Gleichungen zur Wellenausbreitung in nichtlinearen MedienDieser Abschnitt zeigt, wie eine gegebene atomare Polarisation ein Strahlungsfeld erzeugt. Dabei wird von den Maxwell-Gleichungen ausgegangen und die Slowly Varying Envelope Approximation angewendet. Welche Art von elektromagnetischen Wellen kann es in einem dielektrischen Material geben, in dem es keine zusätzlichen Ladungen außer den in den Atomen gebundenen gibt? Dazu wählt man und . Die Maxwell-Gleichungen und sind dann:The Feynman Lectures on Physics, Volume II - Waves in a dielectric
Wirkt die Rotation auf die Maxwell-Gleichung (c)
unter Berücksichtigung der Vektoridentität und der Maxwell-Gleichung (b) , so gilt
Mit der Maxwell-Gleichung a) ergibt sich
Für den Grenzfall ebener Wellen kann man vernachlässigen und die Polarisation in ihre linearen und nichtlinearen Anteile zerlegen: mit . Es folgt damit die Gleichung der Ausbreitung einer Wellen in einem dielektrischen Medium
Für eine Komponente von und ergibt sich die gesuchte Gleichung für die Wellenausbreitung in einem nichtlinearen Medium.
wobei das elektrische Feld ist. Die Slowly Varying Envelope Approximation (Approximation langsam veränderlicher Hüllkurven) dieser Gleichung führt zur parabolischen Wellengleichung. Mit nahezu ebenen Wellen langsam veränderlicher Amplitude zur WellengleichungFür eine ebene Welle in Richtung mit der Amplitude in Richtung gilt
Mit der realistischen Annahme, dass sich die Amplituden nur langsam im Vergleich zur Wellenlänge ändern, kann die Slowly Varying Envelope Approximation angewendet werden:
Auch die zeitlichen Veränderungen sind langsam im Vergleich zur Kreisfrequenz
und es kann gesetzt werden. Die Wellengleichung im dielektrischen Medium (3) lautet dann:
Mit vereinfacht sich die obige Gleichung auf
und man erhält die Wellengleichung für die komplexe HüllenkurveNonlinear Optical Systems, vgl. Kapitel 3: The Maxwell-Bloch equations, Gleichung (3.30). des elektrischen Feldes und der Polarisation :
.
,
unter den Bedingungen:
, und .
Optische Bloch-Gleichungen beschreiben die Wechselwirkung von Zweiniveau-AtomenDie optischen Bloch-Gleichungen beschreiben, wie ein gegebenes elektrisches Feld ein System von Atomen mit zwei Niveaus antreibt. Dazu betrachtet man die zeitliche Entwicklung des Dichteoperators eines Zweiniveau-Atoms an der Position . Der Dichteoperator liefert alle Informationen über den Zustand des Atoms und ermöglicht die Berechnung des Mittelwerts einer beliebigen Beobachtungsgröße :
Sp ist die Spur-Operation, z. B. in . Der statistische Operator ist hermitesch , mit für jeden Vektor positiv definit und er hat die Einheitsspur . Wenn das System in einem reinen Zustand ist, so dass ist, gilt auch . Die Dichtematrix hat im zweidimensionalen Hilbert-Raums die Form:
Bezüglich der nichtdiagonalen Elemente der Matrix ist zu beachten, dass die Wechselwirkung eines elektrischen Dipolmoments mit einem elektrischen Feld durch
beschrieben wird, und damit gilt:
Diese Elemente sind mit dem elektrischen Dipolmoment verbunden, d. h. mit der mikroskopischen Polarisation des Materials. Bei Atomen pro Volumeneinheit, die alle in die gleiche Richtung orientiert sind, ist die makroskopische atomare Polarisation pro Volumeneinheit gegeben durch
Der Zeitverlauf des Dichteoperators wird mit der Von-Neumann-Gleichung beschrieben
oder in Indexschreibweise
Da und genügt es, sich auf die dynamische Entwicklung der Matrixelemente und zu konzentrieren:
In der Dipolapproximation lautet der Hamilton-Operator , der die Wechselwirkung des Elektrons mit einem äußeren elektrischen Feld in einem Zweiniveau-Atom beschreibt:
Der Zeitverlauf des Dichteoperators beträgt damit
Die Ortsabhängigkeit der Matrixelemente und kommt von . Unter der Annahme, dass das elektrische Feld eine monochromatische ebene Welle in Richtung mit Polarisationsrichtung senkrecht zu ist, mit einer Frequenz gleich oder nahe der Frequenz des Atomübergangs , gilt:
wobei c.c. für komplex konjugiert steht und der Wellenvektor ist. ist eine Hüllkurve, die sich in Raum und Zeit viel langsamer verändert als die Trägerwelle . Unter der Einwirkung des elektrischen Feldes kann die Rabi-Frequenz wie folgt geschrieben werden
Da die Polarisation durch das elektrische Feld erzeugt wird, kann angenommen werden, dass die elementaren Dipole parallel zum Feld ausgerichtet sind: und damit wird . Die Ortsabhängigkeit von bestimmt über die Wechselwirkung im Hamilton-Operator
und damit das Nichtdiagonalelement . Die makroskopische Polarisation wird durch Einsetzen von erhalten. Mit der Polarisation von oben gilt:
Wenn man die Besetzungsinversion pro Volumen
setzt und mit in die Gleichung für einsetzt, erhält man die Entwicklung für
Ebenso ergibt sich die Zeitentwicklung von indem man und in die Gleichung für oben einsetzt
Mit der rotating wave approximation kann man die schnell veränderlichen Terme vernachlässigen und erhält die optischen Bloch-Gleichungen:
mit der atomaren Verstimmung .
Man muss den irreversiblen Zerfall der atomaren Polarisation berücksichtigen, indem man bei der Gleichung für und bei hinzufügt. Das ergibt die Bloch-Gleichungen bei irreversiblen Prozessen:
Mit neuen Parametern
schreibt man mit die Gleichung oben für :
Die Gleichung oben für wird dann zu:
mit .
Diese Zeitabhängigkeiten findet man als Gleichungen (3.2) und (3.3) bei Lugiato.
Die Wellengleichung beschreibt das elektrische Feld in einem ResonatorIm Einmodenmodell eines Fabry-Pérot-Resonators (oder auch Ringresonator), der ein homogen verbreitertes System von Zweiniveau-Atomen enthält, sollen die Spiegel hoch reflektierend sein, um die Näherung niedriger Transparenz () anwenden zu können. Im Interferometer der Länge bildet sich eine stehende Welle aus, da ein ganzzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge in den Resonator passt. Der freie Spektralbereich
ist die Wellenlängendifferenz , bei der sich die Interferenzstreifen -ter Ordnung bei der Wellenlänge und -ter Ordnung bei der Wellenlänge überlagern. Sie soll viel größer sein als die atomare Linienbreite . Damit gibt es nur einen Resonanzmodus und ist unabhängig von , d. h. und . Bei optischer Bistabilität ist kein Pumpvorgang notwendig. Stattdessen wird ein kohärentes Feld in den Resonator injiziert. Sowohl das Eingangsfeld als auch das innere Hohlraumfeld lassen sich durch ebene Wellen darstellen, so dass sich die Hüllkurven sowohl von als auch von und nur langsam ändern. Damit lautet die Wellengleichung im Fabry-Pérot-Resonator mit kohärentem Feld im Hohlraum (dies ist die Gleichung (3.1) bei Lugiato)
Die optische Wellengleichung (3) lautet zusammen mit den optischen Bloch-Gleichungen (4) und (5) (siehe (3.1), (3.2) und (3.3) bei Lugiato):
Dieses Gleichungssystem ist nichtlinear!
Dies ist die Gleichung (3.1) bei Lugiato
Lugiato-Lefever-Gleichung für rein passive Bistabilität und sind die komplexen Hüllkurven des elektrischen Feldes und der Polarisation. und erfüllen die komplex konjugierte Version von den Gleichungen (5) und (6). Der Parameter ist nach Lugiato definiert als
mit dem Transmissionskoeffizienten , dem Absorptionskoeffizienten eines Resonators der Länge und als Besetzungsinversion pro Atom. Bei optischer Bistabilität ist der Bistabilitätsparameter. Die Dämpfungskonstante des Resonators bzw. die Linienbreite des Resonators ist definiert als (Lichtgeschwindigkeit )
Die atomaren Relaxationsraten sind und . Der Resonator und der atomare Verstimmungsparameter sind definiert als
wobei die Resonatorfrequenz und die atomare Übergangsfrequenz ist. Für einen guten Resonator mit vernachlässigbarer Dämpfungskonstante
verschwinden die Zeitableitungen in (4) und (5). Für die Polarisation gilt
und für die reelle Besetzungsinversion ():
Mit obiger Polarisation ergibt sich