Die theoretische Mechanik oder analytische Mechanik befasst sich mit den mathematischen Grundlagen der klassischen Mechanik, der relativistischen Mechanik sowie der Kontinuumsmechanik und Elastizitätstheorie. Sie untersucht die Eigenschaften der Grundgleichungen und ihrer Lösungen und entwickelt Methoden zur exakten oder näherungsweisen Lösung von bestimmten Problemklassen.
Die theoretische Mechanik zählt heute zu einem Lehrgebiet der theoretischen Physik und der technischen Mechanik, das seit Mitte des 20. Jahrhunderts als fest und etabliert gilt.
Inhaltliche Kennzeichnung Das mechanistische Ideal einer Theorie Innerhalb der Physik und der allgemeinen (technischen) Mechanik behandelt theoretische Mechanik die phoronomischen und kinetischen Grundbegriffe von Raum, Zeit, Materie, Kraft und Energie in mathematischer Form durch Bewegungsgleichungen.
Nach einer Idealvorstellung der klassischen Mechanik, die vor allem mit S. Laplace in Verbindung gebracht wird, kann die Dynamik eines Systems, bestehend aus n Massenelementen mit den Ortskoordinaten , durch Differentialgleichungen der Form
vollständig beschrieben werden. Man spricht auch von Beschleunigungs- oder Kraftgesetzen. Hierbei bezeichnet den Vektor einer geometrischen Relation, in welche nur Koordinaten der Massenpunkte eingehen.Zu dem mechanistischen Idealbild im mathematischen Kontext siehe insbes. D. Hilbert: Natur und Mathematisches Erkennen. Kap 2 (Physikalische Begriffsbildung). Vorlesung gehalten in Göttingen 1919–1920, in Ausarbeitung von Paul Bernays. Herausgegeben v. D. Rowe. Birkhäuser, Basel / Boston / Berlin 1992.H. Poincaré: Der gegenwärtige Zustand und die Zukunft der mathematischen Physik (deutsch 1906). Französisches Original erschienen in: Bulletin des sciences mathématiques, 28, Nr. 2, 1904, S. 302–324.Siehe auch S. 17 von Kap. 2 (The system of theories) in C. F. v. Weizsäcker: The Structure of Physics. Band 154 der Reihe Fundamentals of Physics (Springer), Dordrecht 2006.Zu einem aktuellen Status der Mechanik, der dieses Ideal voranstellt, siehe etwa G. Galavotti: Introductiory Article: Classical Mechanics. Preface. In: J.-P. Françoise, G. Naber, T. Tsun (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematical Physics. Elsevier – Science Direct, Amsterdam 2006, ISBN 0-12-512660-3, S. 1; sciencedirect.com
Einem solchen Ideal der berechenbaren Mechanik entspricht u. a. auch ein Schema für Kontinua, das dem d’Alembertschen Prinzip zu entnehmen wäre. Sei dazu ein materieller Bereich gegeben, der durch ausgezeichnete Raumkoordinaten vorausgesetzt (die so genannte Konfiguration des Kontinuums) und dessen Zustandsänderung als funktionale Beziehung eindeutig repräsentiert wird. So ist dieses materielle System durch sein dynamisches Gleichgewicht beschrieben, in welchem nur die ausgezeichneten Koordinaten der Konfiguration vorkommen: .Siehe S. 602 und S. 629 in: Die theoretische Mechanik muss nun Einschränkungen und Spezifizierungen in mathematischer Form vornehmen, um sämtlichen realistischen Modellierungen gerecht zu werden. Das geschieht etwa durch den Übergang zu partiellen Differentialgleichungen, durch den Übergang zu Differentialgleichungen erster Ordnung, oder auch durch den Übergang zu anderen Objekten, wie etwa elektrische Ladungen und Felder, zu einem konkreten Kraftterm (z. B. das Newtonsche Gravitationsgesetz), oder durch die Betrachtung von nur einzelnen Körpern, und so weiter.
Orientierung am Lehrkanon Der Blick in Lehrbücher zur theoretischen und technischen Mechanik belegt, dass es auf grundlegender Ebene einen gemeinsamen Lehrkanon der theoretischen Mechanik gibt. Er hat seine Grundlagen in der mathematisch-analytischen Organisation der klassischen Mechanik und Elastizitätstheorie, wie sie von Anfang des 19. bis Mitte des 20. Jahrhunderts geprägt wurde.Siehe exemplarisch in der Literaturauswahl. Aus wissenschaftstheoretischer Sicht ist es sinnvoll, das Feld der Lehrbücher in den Blick zu nehmen, um den Gegenstandsbereich zu charakterisieren. Ronald Giere: Explaining Science – A Cognitive Approach. Chicago / London 1988. Kap 3, S. 61 ff. Darin wird ausführlich begründet, weshalb eine Lehrbuch-Charakterisierung besonders für die klassische Mechanik zutrifft. Grundannahme seiner kognitiven Charakterisierung ist: „Die Übermittlung von wissenschaftlichen Erkenntnissen ist recht einheitlich geworden. Sie beruft sich erheblich auf das fortgeschrittene Lehrbuch [textbook].“ (ebd, S. 62). Jedoch müsse sie auch durch eine historische Charakterisierung ergänzt werden, welche insbesondere fachliche und kulturelle Differenzen besser berücksichtigt. Als minimale Schnittmenge lassen sich dazu folgende Themenbereiche angeben:Sie sind ein gemeinsames Extrakt der Inhaltsverzeichnisse aus den Lehrbüchern der Literatur. Kinematik von Punktmassen, Kraftgesetze von Punktmassensystemen, Kinematik und Dynamik der starren Körper, Erhaltungssätze, das d‘Alembertsche Prinzip, die Lagrange-Mechanik.
Im weiteren Fortgang unterscheidet sich die theoretische Mechanik in der Ausrichtung ihrer angrenzenden materiellen Gebiete. Hierzu zählen vor allem folgende mechanische Theorien: Hamilton-Mechanik, Kanonische Gleichungen, Invarianz- und Symmetrieeigenschaften materieller Systeme, Minimalprinzipien, kanonische Störungstheorie.
Einheitliche mathematische Instrumente der theoretischen Mechanik sind: Differential- und Integralrechnung mit mehreren Variablen, Variationsrechnung, Differentialgeometrie, Funktionentheorie, Vektor- und Tensoranalysis.Als gute Übersicht erster Ordnung diene hierbei wieder die Zusammenstellung nach H. Thirring (Hrsg.): Handbuchs der Physik. Band 3. 1928 (Mathematische Hilfsmittel in der Physik).
Die Physik wendet den mechanischen Formalismus allgemein auf materiell äußere (oder erweiternde) Konzeptionen von Feldern an.Das ist keine ontologische Kennzeichnung. Die theoretische Mechanik in der klassischen Physik unterscheidet Felder und Massenelemente als mathematisch verschiedene Objekte. Es sind verschiedene Theorietypen. Siehe dazu etwa Abschn. 7.4 (Atomismus im 19. Jahrhundert und in der gegenwärtigen Physik), S. 149 f. von M. Stöckler, Demokrits Erben. Der Atomismus zwischen Philosophie und Physik. In: M. Esfeld: Philosophie der Physik. (Suhrkamp) Frankfurt am Main 2012. Daran schließen sich vor allem die relativistische Mechanik und dynamische Theorien der Chaosforschung an. Die technische oder allgemeine Mechanik greift hingegen auf eine innere Feldkonzeption zur Beschreibung materiellen Verhaltens zurück. Sie stellt eine phänomenologische Feldtheorie der Materie an den Anfang, während die Physik dafür die atomare Ebene vorsieht. Der Unterschied äußert sich entsprechend in der materialspezifischen Beschreibung: Während die Mechanik in der Physik vorwiegend korpuskulare Materiemodelle auf ganze Klassen von unterschiedlichen Theorien anwendet, gehen in die materialspezifische Anwendung der Techniker auch kontinuumsmechanische Modelle ein.Der Unterschied wird offensichtlich bei Betrachtung des Handbuches der Physik, herausgegeben von S. Flügge. Der erste Band umfasst den Eintrag (J. Synge 1960, siehe Literaturverzeichnis ) zur Punktmechanik und zur Mechanik starrer Körper, wie er in den meisten Bänden der Theoretischen Mechanik gebräuchlich ist, wohingegen der zweite Eintrag (C. Truesdell 1960, siehe Literaturverzeichnis) die klassische Kontinuumsmechanik darstellt. Der Leitgedanke ist hierbei phänomenbasiert: „Klassische Mechanik ist die Mechanik ausgedehnter Körper.“ (ebd, S. 228), wohingegen die korpuskulare Annahme die atomare Sicht der Materie voranstellt: „Die festen Körper […] sind also Kristalle oder aus solchen zusammengesetzt; die Kristalle sind aber aus Atomen aufgebaute Raumgitter.“ S. 529 in M. Born, Atomtheorie des festen Zustandes (Dynamik der Kristallgitter). Band 5-3 der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, (Teubner) Leipzig 1922.In dieser Abgrenzung sah noch K. Heun mit Beginn und Herausbildung der technischen Mechanik Ende des 19. Jahrhunderts ihren Unterschied zur ‚mechanischen Physik‘. Die Eigenständigkeit wird inhaltlich gesehen, in eigenen unabhängigen Problemstellungen, ihre gemeinsamen Grundlagen als theoretische Mechanik nicht geleugnet. Man vergleiche insbes. Karl Heun, Die technische Mechanik als Zweig der allgemeinen Mechanik. Teil A, S. 1–7 im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Band 9, 2. Heft, III. Die kinetischen Probleme der wissenschaftlichen Technik. Hrsg. v. K. Hensel, A. Gutzmer. (Teubner) Leipzig 1901.
Erläuterungen und Beispiele Es lässt sich formal belegen, dass die Newtonschen beziehungsweise relativistischen Gleichungen bereits die gesamte klassische Mechanik enthalten. In der Praxis sind diese Gleichungen jedoch für die Behandlung vieler Probleme nicht ideal. Daher wurden alternative Formulierungen der Mechanik entwickelt, die für die meisten Probleme besser geeignet sind. Zudem lässt sich mit diesen alternativen Formulierungen in der Regel der Zusammenhang zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik besser untersuchen.
Eine dieser alternativen Formulierungen ist das Prinzip der extremalen Wirkung (oft etwas ungenau als „Prinzip der kleinsten Wirkung“ bezeichnet, da in den meisten Fällen das Extremum ein Minimum ist). Es liefert die Grundlage für das Noether-Theorem, das einen Zusammenhang zwischen den Symmetrien eines physikalischen Systems und dessen Erhaltungsgrößen herstellt. Zudem ergibt es sich mittels der Stationäre-Phasen-Näherung als Grenzfall der Quantenmechanik für kurze Wellenlängen, was eine formale Ableitung der klassischen Mechanik als Grenzfall der Quantenmechanik erlaubt (Korrespondenzprinzip). Für die unmittelbare praktische Berechnung konkreter Probleme ist dieses Prinzip jedoch in der Regel nicht günstig.
Aus dem Prinzip der extremalen Wirkung lässt sich jedoch der Lagrange-Formalismus herleiten, der für die meisten konkreten Probleme die Methode der Wahl ist. Er liefert eine konsistente formale Methode, um die Bewegungsgleichungen für ein physikalisches System zu bestimmen. Hierbei können insbesondere beliebige Zwangsbedingungen (beispielsweise die Bedingung, dass das Rad eines Fahrrads nur abrollen, aber nicht rutschen soll) einbezogen werden, ohne dass man sich im Voraus überlegen muss, welche Zwangskräfte dabei auftreten; letztere erhält man als Resultat aus dem Formalismus. Der Lagrange-Formalismus liefert auch die Grundlage für den Pfadintegral-Formalismus der Quantenmechanik.
Aus dem Lagrange-Formalismus lässt sich der Hamilton-Formalismus herleiten. Auch dieser ist für die Lösung vieler konkreter Probleme gut geeignet. Zudem eignet er sich gut zur theoretischen Untersuchung der Eigenschaften klassischer Trajektorien. Da er – anders als die bisher vorgestellten Formalismen – im Phasenraum arbeitet, kann er den kompletten mathematischen Apparat der symplektischen Geometrie nutzen. Der Hamilton-Formalismus ist auch die Ausgangsbasis für die kanonische Quantisierung, den einfachsten Weg, die Schrödingergleichung für ein physikalisches System aufzustellen.
Aus der Hamiltonschen Mechanik lässt sich wiederum der Hamilton-Jacobi-Formalismus herleiten. Dieser ist wegen der Verwendung partieller Differentialgleichungen in der Regel nicht ideal für die Lösung konkreter Probleme, eignet sich jedoch für theoretische Untersuchungen. Die Hamilton-Jacobi-Gleichung lässt sich auch direkt als erste Näherung der Phase der quantenmechanischen Wellenfunktion aus der Schrödingergleichung bei formaler Entwicklung nach ħ gewinnen. Sie liefert daher einen besonders direkten Zusammenhang zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik.