Parabel (Mathematik)

mini|hochkant=1|Parabel mit Brennpunkt , Scheitelpunkt und Leitlinie

In der Mathematik ist eine Parabel (über von „Nebeneinanderstellung, Vergleichung, Gleichnis, Gleichheit“; zurückzuführen auf „neben“ und „werfen“) eine Kurve zweiter Ordnung und ist daher über eine algebraische Gleichung zweiten Grades beschreibbar. Neben der Ellipse (inkl. ihrer Sonderform Kreis) und der Hyperbel zählt sie zu den Kegelschnitten: Sie entsteht beim Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die parallel zu einer Mantellinie verläuft. Aufgrund dieser besonderen Schnittführung spielt die Parabel unter den Kegelschnitten eine besondere Rolle: Sie besitzt nur einen Brennpunkt und alle Parabeln sind zueinander ähnlich.

Die Parabel wurde von Menaichmos entdeckt und von Apollonios von Perge (etwa 265–190 v. Chr.) als parabolḗPeter Proff: Die Deutung der Begriffe „Ellipse“, „Parabel“ und „Hyperbel“ nach Apollonios v. Perge. In: Gundolf Keil (Hrsg.): „gelêrter der arzeniê, ouch apotêker“. Beiträge zur Wissenschaftsgeschichte. Festschrift zum 70. Geburtstag von Willem F. Daems. Horst Wellm Verlag, Pattensen/Hannover 1982 (= Würzburger medizinhistorische Forschungen, 24), ISBN 3-921456-35-5, S. 17–34; hier S. 17. benannt.

Beispiele für Parabeln sind die aus der Schulmathematik bekannten Graphen quadratischer Funktionen

Praktische Anwendungen Auch im täglichen Leben spielen Parabeln eine Rolle: Die Funktionsweise von Parabolantennen und Parabolspiegeln beruht auf der geometrischen Eigenschaft der Parabel, parallel zu ihrer Achse einfallende Strahlen im Brennpunkt zu sammeln (siehe weiter unten). Ein schräg nach oben geworfener Stein bewegt sich näherungsweise auf einer parabelförmigen Bahn, der Wurfparabel (s. hüpfender Ball, Springbrunnen). Dies hängt damit zusammen, dass Wurfbewegungen durch quadratische Funktionen beschrieben werden. In einem Flugzeug, das sich entlang einer Wurfparabel bewegt, herrscht Schwerelosigkeit. Solche Parabelflüge werden zum Training von Astronauten verwendet. In der Mathematik werden Parabeln häufig zur Approximation komplizierterer Funktionen verwendet, da sie nach den Geraden (Gleichung: ) die einfachsten gekrümmten Funktionsgraphen (Gleichung: ) sind und sich besser als Geraden an gekrümmte Funktionsgraphen anschmiegen können. Im CAD-Bereich (Computer Aided Design) treten Parabeln als Bézierkurven auf. Ein Vorteil der Parabeln gegenüber Kreisen, Ellipsen und Hyperbeln besteht darin, dass man sie als Funktionsgraph von Polynomfunktionen 2. Grades beschreiben kann.

Definition mit Leitlinie mini|hochkant=1.4|Parabel: Definition mit Brennpunkt F, Leitlinie l (schwarz) und Halbparameter p (grün). Das Lot Pl und die Strecke PF (jeweils blau) sind für alle Punkte P der Parabel (rot) gleich lang.

Eine Parabel kann geometrisch als Ortslinie beschrieben werden:

Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte , deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt – dem Brennpunkt  – gleich dem Abstand zu einer speziellen festen Geraden – der Leitlinie  – ist.

Als Punktmenge notiert:

Der Punkt, der in der Mitte zwischen Brennpunkt und Leitgerade liegt, heißt Scheitel oder Scheitelpunkt der Parabel. Die Verbindungsgerade von Brennpunkt und Scheitel wird auch Achse der Parabel genannt. Sie ist die einzige Symmetrieachse der Parabel.

Führt man Koordinaten so ein, dass ist und die Leitlinie die Gleichung hat, so ergibt sich für aus die Gleichung

einer nach oben geöffneten Parabel.

Die halbe Weite der Parabel in der Höhe des Brennpunktes ergibt sich aus zu und heißt (analog zu Ellipse und Hyperbel) der Halbparameter der Parabel. Der Halbparameter ist wie bei Ellipse (im Hauptscheitel) und Hyperbel der Radius des Scheitelkrümmungskreises, also des Krümmungskreises an den Scheitelpunkt. Bei einer Parabel ist außerdem der Abstand des Brennpunktes zur Leitlinie. Die Gleichung der Parabel lässt sich damit auch in der folgenden Form schreiben:

Vertauscht man und , so erhält man mit

die Gleichung einer nach rechts geöffneten Parabel.

Laut Definition ist eine Parabel die Äquidistanz-Kurve zu ihrem Brennpunkt und ihrer Leitlinie.

Parabel als Funktionsgraph mini|hochkant=1.4|Parabeln (Parabelschar)

Eine nach oben oder unten geöffnete Parabel mit Scheitel im Nullpunkt (0,0) und der -Achse als Achse wird (in kartesischen Koordinaten) durch eine Gleichung

beschrieben. Für ist die Parabel nach oben geöffnet, für nach unten (siehe Bild). Dabei gilt:

Der Brennpunkt ist , der Halbparameter ist , die Leitlinie hat die Gleichung und die Tangente im Punkt hat die Gleichung .

Für erhält man die Normalparabel . Ihr Brennpunkt ist , der Halbparameter und die Leitlinie hat die Gleichung .

Nach einer Verschiebung erhält man die Scheitelform einer beliebigen nach oben oder unten geöffneten Parabel: mit dem Scheitel

Durch Ausmultiplizieren ergibt sich die allgemeine Gleichung einer nach unten oder oben geöffneten Parabel:

Sie ist der Graph der quadratischen Funktion .

Ist die Funktionsgleichung gegeben, so findet man den Scheitel durch quadratische Ergänzung:

Jede Parabel ist zur Normalparabel y = x² ähnlich mini|Parabel mit dem Faktor 2 am Ursprung gestreckt, das Ergebnis ist die Parabel

In der Geometrie sind zwei Figuren genau dann zueinander ähnlich, wenn sie durch eine Ähnlichkeitsabbildung ineinander übergeführt werden können. Eine Ähnlichkeitsabbildung ist eine Hintereinanderausführung von zentrischen Streckungen, Verschiebungen, Drehungen und Spiegelungen.

Eine beliebige Parabel mit Scheitelpunkt kann durch die Verschiebung und eine geeignete Drehung um den Ursprung so transformiert werden, dass die transformierte Parabel den Ursprung als Scheitel und die -Achse als Achse besitzt. Also ist die Parabel zu einer Parabel mit der Gleichung ähnlich. Durch die zusätzliche zentrische Streckung wird die Parabel schließlich in die Normalparabel überführt. Also gilt Jede Parabel ist zur Normalparabel ähnlich.

Bemerkungen: Diese Aussage ist nur für Parabeln richtig und nicht für Ellipsen/Einheitskreis und Hyperbeln/Einheitshyperbel. Es gibt andere einfache affine Abbildungen, die die Parabel auf die Normalparabel abbilden, zum Beispiel . Jedoch ist diese Abbildung keine Ähnlichkeitsabbildung.

Parabel als Sonderfall der Kegelschnitte mini|Kegelschnittschar mit Scharparameter

Die Schar der Kegelschnitte, deren Achse die -Achse ist und die einen Scheitelpunkt im Ursprung (0,0) mit dem Scheitelkrümmungskreisradius haben, lässt sich durch die Gleichung

beschreiben. Für erhält man einen Kreis (Scheitelkrümmungskreis aller Kegelschnitte der Schar), für eine Ellipse, für eine Parabel und für eine Hyperbel (s. Bild).

Die allgemeine Gleichung für Kegelschnitte lautet nicht alle 0. Um zu erkennen, welcher Kegelschnitt durch eine konkrete Gleichung beschrieben wird, muss man eine Hauptachsentransformation (Drehung und anschließende Verschiebung des Koordinatensystems) durchführen. Siehe hierzu Kegelschnitt.

Parabel als Kegelschnitt mini|hochkant=1|Dandelin-Kugel: Parabel-Fall (Grund- und Aufriss)

Schneidet man einen geraden Kreiskegel mit einer Ebene , deren Neigung gleich der Neigung der Mantellinien des Kegels ist, so ergibt sich eine Parabel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. Brennpunkt und Leitlinie (s. oben) führt man mit Hilfe einer Dandelin’schen Kugel, das ist eine Kugel, die den Kegel in einem Kreis und die Parabel-Ebene in einem Punkt berührt. Es stellt sich heraus, dass der Brennpunkt der Schnittparabel und die Schnittgerade der Ebene des Berührkreises mit der Ebene die Leitlinie ist. sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve. Die Strecken und sind tangential zur Kugel und damit gleich lang. Die Ebenen durch die Mantellinie schneiden die Parabelebene in einer Schar paralleler Geraden, die senkrecht zur Geraden sind (!). Anwendung des Strahlensatzes auf die sich in schneidenden Geraden und die parallelen Strecken liefert die Gleichheit der Länge der Strecken . (Man beachte: sind gleich lang!). Aus der Gleichheit der Länge der Strecken und folgt schließlich .

Fadenkonstruktion einer Parabel mini|Parabel: Fadenkonstruktion

Die Definition einer Parabel mit Hilfe der Leitlinie bietet eine einfache Möglichkeit, mit Hilfe eines Fadens und eines rechten Winkels (hier in T-Form zum Gleiten entlang einer Geraden) einen Parabelbogen zu zeichnen:

(0) Wahl des Brennpunktes und der Leitlinie der zu zeichnenden Parabel (1) Faden der Länge (in der Zeichnung blau) (2) Befestigung des einen Fadenendes im Punkt des Lineals, das andere Ende im Brennpunkt (3) Anlegen des Winkels so, dass der eine Schenkel entlang der Leitlinie gleiten kann (4) Mit einem Stift den Faden so spannen, dass er an der Linealkante anliegt (5) Durch Verschieben des Lineals entlang der Leitlinie überstreicht der Stift einen Parabelbogen, denn es ist stets (Leitlinieneigenschaft).

Steiner-Erzeugung einer Parabel und der zu ihr dualen Parabel Parabel mini|hochkant=1.4|Parabel: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Parabel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten (alle Geraden durch den Punkt bzw. ) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nicht ausgearteten Kegelschnitt.Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 16.Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867 (bei Google Books), 2. Teil, S. 96.

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Parabel gehen wir von dem Geradenbüschel im Scheitel und dem Parallelbüschel der Parallelen zur -Achse aus (d. i. das Geradenbüschel des Fernpunktes der -Achse). Seien nun ein Punkt der Parabel und , . Wir unterteilen die Strecke in gleich lange Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung auf die Strecke (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung des Büschels in und des Parallelbüschels . Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden und der -ten Parallele zur -Achse liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Parabel (s. Bild).

Der Beweis ergibt sich durch eine einfache Rechnung. Siehe auch: projektiver Kegelschnitt.

Bemerkung: Die linke Hälfte der Parabel erhält man durch Spiegelung an der -Achse.

Bemerkung: Auch für Ellipsen und Hyperbeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Statt des Scheitels der Parabel und der Scheiteltangente kann man auch einen beliebigen Punkt und seine Tangente benutzen.

Duale Parabel Eine duale Parabel besteht aus der Menge der Tangenten einer (gewöhnlichen) Parabel. Die vorige Steiner-Erzeugung einer Parabel lässt sich dualisieren, d. h., die Bedeutung von Punkten und Geraden wird vertauscht: Hat man für zwei Punktreihen zweier Geraden eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung der einen Punktreihe auf die andere, so bilden die Verbindungsgeraden zugeordneter Punkte einen nicht ausgearteten dualen Kegelschnitt (s. Satz von Steiner). Die Geraden sind auch Tangenten, also Elemente des dualen Kegelschnitts. mini|hochkant=2.0|Duale Parabel und Bezierkurve vom Grad 2 (rechts: Kurvenpunkt und Teilpunkte zu ) In der Praxis gibt man drei Punkte vor, unterteilt die Strecken und in je gleiche Teile und nummeriert sie wie im Bild. Die Geraden sind dann die Tangenten einer Parabel (die Elemente einer dualen Parabel). Die Parabel ist eine Bezierkurve vom Grad 2 mit den Punkten als Kontrollpunkte.

Beweis:

Sind die Ortsvektoren der Punkte , so ist

die zugehörige Bezierkurve (Parabel). Die Ableitung (der Tangentenvektor) ist

Dabei sind und die zum Parameter gehörigen Teilpunkte der Strecken und . Man rechnet nach, dass gilt. Also ist die Gerade Tangente im Parabelpunkt .