In der Mathematik war die Milnor-Vermutung eine inzwischen widerlegte Vermutung aus der Differentialgeometrie. Sie wurde 1968 von John Willard Milnor formuliert.
Formulierung
Die Milnor-Vermutung besagte, dass für eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit nicht-negativer Ricci-Krümmung die Fundamentalgruppe endlich erzeugt sein soll.
Dies verallgemeinert den Satz von Myers, nach dem eine vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit positiver unterer Schranke an die Ricci-Krümmung die Fundamentalgruppe endlich ist.
Bestätigungen
Die Milnor-Vermutung ist richtig für Flächen, weil eine Fläche, deren Krümmung nicht-negativ und nicht konstant Null ist, entweder kompakt oder homöomorph zum sein muss. Dies folgt aus einer Arbeit von Stefan Cohn-Vossen.S. Cohn-Vossen: Kürzeste Wege und Totalkrümmung auf Flächen. Compositio Mathematica. 2: 69–133 (1935)
Die Milnor-Vermutung ist ebenfalls richtig für 3-Mannigfaltigkeiten. Dies folgt daraus, dass eine 3-Mannigfaltigkeit mit nicht-negativer Ricci-Krümmung, die nicht ein metrisches Produkt aus einer Fläche und einer 1-Mannigfaltigkeit ist, entweder kompakt oder homöomorph zum sein muss. Dies folgt aus Arbeiten von Schoen-Yau und Liu.R. Schoen, S.-t. Yau: Complete three dimensional manifolds with positive Ricci curvature and scalar curvature. Seminar on Differential Geometry. (AM-102), Princeton University Press, pp. 209–228 (1982)G. Liu: 3-manifolds with nonnegative Ricci curvature. Inventiones Mathematicae. 193 (2): 367–375 (2013)
Es ist zur Zeit offen, ob die Milnor-Vermutung auch für und dimensionale Mannigfaltigkeiten richtig ist. Ein am 16. August 2026 veröffentlichter Preprint von Nan Wu und Zetian Yan findet mit Unterstützung durch ChatGPT Gegenbeispiele auch in Dimensionen und .Nan Wu, Zetian Yan: Prüfer 2-group and Milnor’s conjecture on fundamental groups
Widerlegung
Für Mannigfaltigkeiten der Dimension mindestens wurde die Milnor-Vermutung von Brué, Naber und Semola widerlegt. Insbesondere fanden sie ein Beispiel einer -Mannigfaltigkeit nicht-negativer Ricci-Krümmung mit Fundamentalgruppe .E. Brué, A. Naber, D. Semola: Fundamental groups and the Milnor conjecture. erscheint in: Annals of Mathematics (2025) Die Autoren fanden eine neue topologische Konstruktion für Mannigfaltigkeiten mit unendlich-erzeugter Fundamentalgruppe, die sie als glatte (differenzierbare) Version der fraktalen Schneeflocke bezeichnen. Diese Konstruktion beruht auf sehr getwisteten Verklebungen und letztlich dem Zusammenhang zwischen der Ricci-Krümmung und der Abbildungsklassengruppe der Mannigfaltigkeit . Insbesondere zeigen sie, dass die Abbildungsklassengruppe die Standard-Produktmetrik auf Metriken in einer Wegzusammenhangskomponente des Raums der Metriken positiver Ricci-Krümmung abbildet.
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Riemannsche Geometrie)