Das balancierte Produkt ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein Produkt für G-Räume. Dieses berücksichtigt beim Produkt der zugrundeliegenden topologischen Räume zusätzlich die stetige Gruppenwirkung auf ihnen durch eine topologische Gruppe mit der Bildung eines Quotienten. Anwendung findet das balancierte Produkt bei der Konstruktion von Hauptfaserbündeln.
Definition Für eine topologische Gruppe , einen -Rechtsraum und einen -Linksraum ist:
mit der Äquivalenzrelation für alle , und dessen balanciertes Produkt. Die Topologie auf diesem ergibt sich durch die Produkt- und Quotiententopologie.
Eigenschaften Sei eine topologische Gruppe, eine Untergruppe, ein -Rechtsraum und ein -Linksraum.
Es gilt .Mitchell 2011, Sektion 3 (i) Analog gilt . Es gilt .Mitchell 2011, Sektion 3 (ii) Analog gilt . Es gilt .Mitchell 2011, Corollary 3.4 Analog gilt .
Seien und topologische Gruppen, ein -Rechtsraum, ein -Raum und ein -Linksraum.
Das balancierte Produkt ist assoziativ. Es gilt .Mitchell 2011, Proposition 3.1
Anwendung Für einen Körper wirkt eine Untergruppe auf von links durch Matrizenmultiplikation. Für ein -Hauptfaserbündel (wobei auf von rechts wirkt und unter dieser Wirkung invariant ist, also für alle und ) lässt sich das balancierte Produkt bilden und die Abbildung ist wohldefiniert. Da ein -Vektorraum ist, ist ein -Vektorbündel, welches das zum Hauptfaserbündel assoziierte Vektorbündel genannt wird. Allgemeiner kann mithilfe einer Darstellung auch eine beliebige topologische Gruppe verwendet werden.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Gruppentheorie Kategorie:Topologie