Der Satz von Pál () ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Er geht auf zwei Publikationen des Mathematikers Julius (Gyula) PálJulius Pál oder Gyula Pál (* 27. Juni 1881; † 6. September 1946) war ein ungarisch-dänischer Mathematiker, der nicht zuletzt über Jordankurven und die Kakeya-Vermutung arbeitete. aus dem Jahre 1914 zurück und liefert eine Verfeinerung des Approximationssatzes von Weierstraß für gewisse stetige reelle Funktionen.Peter Duren: Invitation to Classical Analysis. American Mathematical Society 2012, S. 168–177
Darstellung des Satzes Er besagt folgendes:Peter Duren: Invitation to Classical Analysis. 2012, S. 168 Gegeben seien eine reelle Zahl und dazu das abgeschlossene Intervall und hier eine stetige reelle Funktion , wobei gesetzt sei.
Weiter gegeben seien eine natürliche Zahl und dazu beliebige reelle Zahlen .
Dann gilt: Zu jedem gibt es eine reelle Polynomfunktion mit als ersten Koeffizienten, so dass für stets die Ungleichung erfüllt ist. ist die Betragsfunktion.
Folgerung: Der Satz von Fekete Aus dem Satz von Pál lässt sich der folgende Satz herleiten, der auf den Mathematiker Mihály Fekete zurückgeht und der sich mit der Frage der Existenz einer (in gewissem Sinne) universellen Potenzreihe befasst:Peter Duren: Invitation to Classical Analysis. American Mathematical Society 2012, S. 170
Gegeben seien eine reelle Zahl und dazu das abgeschlossene Intervall .
Dann gilt: Dann existiert eine Potenzreihe mit reellen Koeffizienten derart, jede stetige reelle Funktion mit durch eine Teilfolge der Partialsummenfunktionen dieser Potenzreihe gleichmäßig approximiert werden kann.
Weitere Folgerung Durch weitere Spezialisierung gewinnt man aus dem Satz von Pál ein weiteres interessantes Approximationsresultat. Es besagt folgendes:Peter Duren: Invitation to Classical Analysis. 2012, S. 169 Gegeben seien eine reelle Zahl mit und dazu das abgeschlossene Intervall und weiter eine stetige reelle Funktion mit .
Dann gilt: Die Funktion kann in gleichmäßig durch reelle Polynomfunktionen mit ganzzahligen Koeffizienten approximiert werden.
Siehe auch Approximationssatz von Weierstraß Satz von Müntz-Szász
Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen
Kategorie:Analysis Pal