Ein Bondgraph ist die grafische Darstellung (oder graphische Darstellung) des mathematischen Modells eines physikalischen dynamischen Systems. Graphen bestehen aus Kanten und Knoten, wobei die Knoten Objekte oder Zustände repräsentieren und Kanten für materielle, energetische oder informatorische Verbindungen zwischen den Knoten stehen. Andere bekannte Formen grafischer Darstellungen von Modellen dynamischer Systeme sind das Blockdiagramm (Blockschaltbild) und der Signalflussplan. Während die Kanten im Blockdiagramm uni-direktional sind, stellen die Kanten des Bondgraphen (englisch Bond, deutsch ,Verbindung') den bi-direktionalen Austausch von physikalischer Energie zwischen den Knoten dar. Mit Bondgraphen fällt es leicht, Multi-Domänen-SystemeAls Domänen werden in der Physik und Technik unterschiedliche Fachgebiete wie Mechanik, Elektrotechnik, Hydraulik, Magnetismus, Thermodynamik usw. bezeichnet. Multi-Domänen Systeme sind Systeme, die Subsysteme unterschiedlicher Domänen enthalten. darzustellen, wie sie typischerweise im Fachgebiet der Mechatronik häufig auftreten.
Ein physikalisches dynamisches System besteht aus Objekten, die beispielsweise in der Elektrotechnik als Eintore (Zweipole), Zweitore (Vierpole) oder Vieltore (Multipole, englisch ,multiport') bezeichnet werden. Schon im 19. Jahrhundert wurde von dem britischen Physiker Oliver Heaviside die Elektro-Hydraulische Analogie entwickelt, in der Bezüge zwischen den Gesetzmäßigkeiten hydraulischer und elektrischer Systeme dargelegt wurden. Ähnliches lässt sich auch für andere Domänen wie der Mechanik, dem Magnetismus und der Thermodynamik feststellen. Zwischen den Systemobjekten fließt Energie (), d. h. es wird Leistung übertragen. Der Übertragungsweg wird als Bond bezeichnet, wobei die Leistung immer als das Produkt zweier Leistungsvariablen, einer Flussvariablen und einer Potentialvariablen (auch „Potenzialvariable“) darstellt werden kann. Die Flussvariable wird im Englischen als Flow (deutsch Fluss) und mit dem Kleinbuchstaben „f“ bezeichnet, die Potentialvariable heißt Effort und wird mit dem Kleinbuchstaben „e“ bezeichnet. Diese Variablen werden auch als allgemeingültige oder generalisierte Variablen bezeichnet. Beispielsweise ist in der elektrischen Domäne die Flussgröße der elektrische Strom i und die Effortgröße die elektrische Spannung U, weil für die elektrische Leistung gilt: . mini|Zwei Multiports A und B, die durch einen Leistungsbond untereinander verbunden sind. Die in Signalflussplänen üblichen Verbindungen zwischen Blöcken werden als „normale“ Pfeile () dargestellt. Ein LeistungsbondKante in einem Bondgraphen, über die in relevantem Ausmaß Leistung übertragen wird. wird in einem Bondgraphen als HalbpfeilBeim Halbpfeil wird nur die eine Hälfte der Pfeilspitze in unterschiedlichen Stilen gezeichnet. dargestellt, der zwei Objekte des Systems miteinander verbindet. Die Wahl des Halbpfeils dient zur Unterscheidung von Signalverbindungspfeilen. Tritt in einem Bondgraphen keine wesentliche Leistungsübertragung zwischen zwei Multiports auf, sondern nur eine Informationsübertragung, so wird diese Verbindung als Informationsbond bezeichnet und mit dem üblichen Pfeilsymbol dargestellt. Am Leistungsbond kann man zur Kennzeichnung oberhalb des Halbpfeils den Effort e und unterhalb den Flow f notieren. Die Richtung des positiven Energieflusses kann mit Hilfe der Richtungsinformation des Halbpfeils willkürlich gewählt werden, sollte sich aber sinnvollerweise an den tatsächlichen physikalischen Gegebenheiten orientieren. Ist beispielsweise der Multiport A eine Energiequelle und der Multport B eine Energiesenke, so entspricht die Richtung des Leistungsbonds der physikalischen Richtung des Energieflusses.
Um aus einem Bondgraphen eine Zustandsraumdarstellung ableiten zu können, die in der Regel für eine computergestützte Simulation des Systems benötigt wird, ist als weitere Information im Bondgraphen die Kausalität der Leistungsbonds erforderlich. Dazu wird mit einem kurzen Querstrich am Anfang oder am Ende des Bonds die Richtung des Efforts in diesem Bond gekennzeichnet. Die Kennzeichnung der Kausalität ist dabei nicht willkürlich, sondern erfolgt nach den weiter unten beschriebenen Regeln. Die Kausalität legt fest, welche der beiden Leistungsvariablen die unabhängige und welche die abhängige Variable darstellen.
Das Konzept des Bondgraphen wurde von dem amerikanischen Professor Henry Paynter am MIT entwickeltPaynter, Henry M.: Analysis and Design of Engineering Systems. The M.I.T. Press. ISBN 0-262-16004-8. und von seinen Schülern weitergeführtKarnopp, Dean C.; Margolis, Donald L.; Rosenberg, Ronald C. (2012). System Dynamics. New Jersey: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-88908-4..
Allgemeingültige (generalisierte) Variablen Da es in allen Domänen Effort- und Flow-Größen gibt, werden die Variablen e und f als allgemeingültige oder generalisierte VariablenDies sind Variablen, die in der Theorie der Bondgraphen definiert sind und die in allen Domänen vergleichbare physikalische Bedeutung haben. bezeichnet. Die Leistung, die in einen Multiport hinein- oder herausfließt, ist bei dynamischen Prozessen von der Zeit t abhängig, so dass die Leistung P mit Hilfe der generalisierten Variablen als geschrieben werden kann. Man kann mit Bondgraphen sowohl konzentrierte BauelementeAls konzentrierte Bauelemente werden solche Systeme bezeichnet, deren Modellvariablen direkt oder indirekt von der Zeit t abhängen und mit gewöhnlichen Differentialgleichungen modelliert werden können. Sie heißen "konzentriert", weil alle Komponenten des Systems in einem einzelnen Punkt konzentriert gedacht werden. Systeme mit verteilten Parametern sind außer von der Zeit auch von anderen Parametern wie Ortskoordinaten, Temperatur usw. abhängig und ihre Modelle benötigen zur Beschreibung partielle Differentialgleichungen. (engl. lumped systems) der unterschiedlichen Domänen als auch Bauteile mit verteilten Parametern und außerdem nichtlineare Systeme modellieren. In der Gruppe der konzentrierten Bauelemente gibt es folgende Typen unterschiedlicher Systemeigenschaften:
Erzeugung von EnergieNach dem 2. Hauptsatz der Thermodynamik kann in einem abgeschlossenen System Energie weder erzeugt noch verbraucht werden, sondern nur von einer Energieform in eine andere umgewandelt werden. Erzeugung von Energie meint daher die Umwandlung einer Energieform, die nicht direkt nutzbar ist, in eine vom Menschen nutzbare Form. So wird beispielsweise chemische Energie durch einen Oxidationsvorgang in thermische Energie umgewandelt. Verbrauch von Energie (Dissipation) Umwandlung von Energie Speicherung von Energie Bei der Speicherung von Energie wird entweder die Flow- oder die Effortgröße im Speicher integriert, so dass dieser je nach Vorzeichen gefüllt oder geleert wird. Für die gespeicherte Energie gilt:
Um daher Speicherelemente modellieren zu können, werden die Integrale über den Effort und den Flow benötigt. Diese Größen sind zwei weitere generalisierte Größen der Bondgraphenmethodik und werden als generalisierter Impuls und generalisierte Verschiebung (engl. displacement) bezeichnet:
Die Darstellung dieser Zusammenhänge findet man auch in der Form:
Man kann die Energie anstelle in Abhängigkeit von der Zeit t als abhängig vom Impuls p(t), oder von der Verschiebung q(t) darstellen:
Daraus folgt für die Energie:
Als Beispiel für diese Abhängigkeit möge die Domäne der Mechanik dienen. Zwei wichtige Energiegrößen sind hier die potentielle Energie und die kinetische Energie einer Masse m.
g: Gravitationskonstante h = q: Verschiebeweg im Gravitationsfeld der Erde
Hieraus erhellt die Bezeichnung „Verschiebung“ für die generalisierte Variable q. mini|Zustandstetraeder mit den 4 generalisierten VariablenDie kinetische Energie einer Masse m ist vom mechanischen Impuls abhängig: v: Geschwindigkeit der Masse m
Der generalisierte Impuls p hat demnach seine Bezeichnung vom Impulsbegriff der mechanischen Domäne.
Die Zusammenhänge zwischen den vier generalisierten Variablen kann man gut mit dem sogenannten Zustandstetraeder als mnemotechnische Hilfe verdeutlichen.
Die Bedeutung der vier generalisierten Variablen in den unterschiedlichen Domänen Mechanik, Elektrotechnik und Hydraulik kann man der folgenden Tabelle entnehmen. +Generalisierte Variablen unterschiedlicher DomänenRoddeck, Werner: Grundprinzipien der Mechatronik, Springer Vieweg, 2022, 4. Aufl., ISBN 978-3-658-38088-5.Generalisierte VariablenTranslationRotationElektrischHydraulischMagnetische (Effort)F (Kraft) [F] = NM (Drehmoment) [M] = NmU (Potential) [U] = Vp (Druck) [p] = N/m²UM (magnetische Spannung)
RM : magnetischer Widerstand
[RM] =1/Henry = A/V·s [UM] = (Windungszahl) ·Af (Flow)v (Geschwindigkeit) [v] = m/sω (Winkelgeschwindigkeit) [ω] = rad/si (Strom) [i] = A (Volumenstrom) [Q] = m³/s (Flussänderung) [] = Weber/s = Voltp (Impuls)p (Impuls) [p] = NsD (Drehimpuls) [D] = Nmsλ (Windungsfluss) [λ] = Vspp (Druckimpuls) [pp] = Ns/m² (Windungsfluss) = N · [] = (Windungszahl) ·Weberq (Verschiebung)x (Verschiebung) [x] = mα (Verschiebung) [α] = radq (Ladung) [q] = As = CoulombV (Volumen) [V] = m³ (magnetischer Fluss) [] = V·s = Tesla · m² = WeberP (Leistung) [P] = Nm/s = Watt [P] = Watt [P] = Watt [P] = Watt [P] = WattE (Energie)[E] = Ws = Nm = Joule[E] = Joule[E] =Joule[E] = Joule[E] = Joule
Wort-Bondgraphen mini|Erregter Einmassenschwinger Andere grafische Darstellungen von mathematischen Modellen dynamischer Systeme wie Blockdiagramme oder Signalflusspläne sind signalflussorientiertDer Schwerpunkt der Darstellung liegt darauf, den Verlauf des Signalflusses zwischen den Blöcken darzustellen, ohne Rücksicht auf die Darstellung konkreter Bauelemente des Systems bzw. funktionsorientiert. Sie bilden das mathematische Modell des Systems ab und nicht direkt die Objekte oder Komponenten eines Systems. Ein sehr einfaches Beispiel eines mechanischen Systems ist der Einmassenschwinger. Dies ist ein idealisiertes Modell eines schwingungsfähigen Systems aus einer Masse m, einer elastischen Feder mit der Steifigkeit k und einem fluidischen Dämpfer mit viskoser Reibung und einer Dämpfungskonstante d. Als Idealisierung ist alle Masse als im Schwerpunkt S (Massenmittelpunkt) von m konzentriert gedacht und zwischen Masse und Untergrund hat die Reibung den Wert Null. Die Masse wird durch eine Kraft F(t) ausgelenkt und kann sich nur horizontal in der Bewegungsrichtung mit der Wegkoordinate x bewegen. Das mathematische Modell eines solchen Systems ist eine gewöhnliche Differentialgleichung 2. GradesRoddeck, Werner: Grundprinzipien der Mechatronik, Springer Vieweg, 2022, 4. Aufl., ISBN 978-3-658-38088-5. S. 17 ff.:
mini|280x280px|Signalflussplan eines erregten Einmassenschwingers Will man dieses mathematische Modell als Signalflussplan darstellen, so enthalten die Blöcke des Modells mathematische Übertragungsfunktionen wie die Multiplikation des Eingangssignals mit einem Parameter, oder die Integration des Signals, oder die Addition von Signalen. Die Signale werden als unidirektionale Pfeile dargestellt. Der fertige Signalflussplan enthält nicht mehr die Objekte des Systems (s. Bild). mini|280x280px|Wort-Bondgraph eines Einmassenschwingers