Die John-Nirenberg-Ungleichung ist eine Abschätzung, die nach Fritz John und Louis Nirenberg benannt ist. Sie beschreibt, wie weit eine zum BMO-Raum gehörende Funktion von ihrem Durchschnitt um einen bestimmten Betrag abweichen darf. Dabei kann man die folgenden zwei Sätze unterscheiden.
Allgemeine Bemerkungen Es sei ein achsenparalleler Würfel im . Für eine integrierbare Funktion setzt man
,
wobei das Supremum über alle achsenparallele Würfel gebildet wird und
für den Durchschnittswert von auf dem Würfel steht.
Dann ist eine Halbnorm, die sogenannte BMO-Halbnorm, und man bezeichnet mit den Raum aller mit . Außerdem definiert man für und die Teilmenge
aller , deren Funktionswert um mehr als vom Mittelwert der Funktion abweicht.
John-Nirenberg I Es gibt zwei positive Konstanten und , welche nur von der Dimension abhängenMarc-Robin Wendt: Einführung in den Raum der Funktionen mit beschrankter mittlerer Oszillation. Abgerufen am 21. Januar 2025, sodass für alle und gilt:
Bemerkung Als direkte Folgerung ergibt sich nun eine -Abschätzung für Funktionen beschränkter mittlerer Oszillation:
Ist , so gilt für alle und für jeden achsenparallelen Würfel erhält man:
mit einer Konstante .
John-Nirenberg II Eine weitere Variante der John-Nirenberg-Ungleichung lautet: Es sei ein Würfel und . Angenommen, es existieren Konstanten und , so dass für jede Zerlegung des Würfels in Teilwürfel mit paarweise disjunktem Inneren (also mit ) die Ungleichung
.
gilt. Dabei bezeichnet den Wert des Mittelwertintegrals von über den Würfel . Man bezeichne nun mit die kleinste Konstante , für die diese Ungleichung erfüllt ist.
Dann gibt es eine Konstante , so dass für jedes die Ungleichung
gilt.
Literatur J. Kinnunen, K. Myyryläinen, D. Yang: John–Nirenberg inequalities for parabolic BMO. In: Mathematische Annalen. (Springer Verlag). vol. 387, 2023, S. 1125–1162. H. Chul Pak: On the John–Nirenberg inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. Article 130, 2020.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Ungleichung