Ein (schwach) stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie und insbesondere der Yang-Mills-Theorie ein spezielles Yang-Mills-Higgs-Paar, um welches die Yang-Mills-Higgs-Wirkung positiv oder sogar strikt positiv gekrümmt ist. Yang-Mills-Higgs-Paare sind Lösungen der Yang-Mills-Higgs-Gleichungen oder äquivalent lokale Extrema der Krümmung beider Felder, also kritische Punkte der Yang-Mills-Higgs-Wirkung, und werden daher festgelegt durch eine verschwindende erste Ableitung einer Variation. (Schwach) stabile Yang-Mills-Higgs-Paare haben darüber hinaus eine positiv oder sogar strikt positiv gekrümmte Umgebung und werden daher festgelegt durch eine positive oder sogar strikt positive zweite Ableitung einer Variation.
Benannt sind (schwach) stabile Yang-Mills-Higgs-Paare nach Chen Ning Yang, Robert Mills und Peter Higgs.
Definition Sei eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. , ein affiner Vektorraum über und daher nicht kanonisch isomorph, ist der Raum der Zusammenhänge. ist der Raum der glatten Schnitte, welche Higgs-Felder beschreiben.
Die Yang-Mills-Higgs-Wirkung ist gegeben durch:
Ein Yang-Mills-Higgs-Paar und , also welche die Yang-Mills-Higgs-Gleichungen erfüllen, wird stabil genannt, wenn:
für alle glatte Familien mit und mit gilt. und werden schwach stabil genannt, wenn gilt. Ein Yang-Mills-Higgs-Paar, welches nicht schwach stabil ist, wird instabil genannt. Zum Vergleich ist die Bedingung für ein Yang-Mills-Higgs-Paar gegeben durch:
Eigenschaften
Sei ein stabiles Yang-Mills-Higgs-Paar auf , dann gelten die folgenden Behauptungen: Ist , dann ist ein Yang-Mills-Zusammenhang () sowie und . Ist , dann ist flach () sowie und .
Siehe auch
Stabiler Yang-Mills-Zusammenhang
Weblinks
stable Yang-Mills-Higgs pair auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Quantenfeldtheorie