Die Bogomolny-Gleichung ist in der Mathematischen Eichtheorie eine Gleichung zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole. Formuliert ist diese in drei Dimensionen und folgt durch Dimensionsreduktion aus den selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen. Benannt sind die Gleichungen nach Eugene Bogomolny. Untersucht wurden die Bogomolny-Gleichungen und insbesondere ihr Modulraum unter anderem von Michael Atiyah und Nigel Hitchin. Auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten ergeben sich nur triviale Lösungen.
Formulierung Sei eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra und ein -Hauptfaserbündel, wobei eine Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit mit Metrik und Volumenform ist. Sei das adjungierte Vektorbündel. Für einen Zusammenhang mit Krümmungsform Naber 11, S. 35 sowie einen glatten Schnitt (welche in den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen das Higgs-Feld repräsentiert) ist die Bogomolny-Gleichung gegeben durch:Naber 11, Gleichung (2.5.14)
Verbindung zu den Yang-Mills-Gleichungen Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist nicht unbedingt eine Lösung der Yang-Mills-Gleichung, obwohl mit der Bianchi-Identität folgt:
Dadurch lassen sich die partiellen Differentialgleichungen von zweitem Grad zu erstem Grad reduzieren und einfacher lösen. Dabei ergeben sich jedoch wegen der zusätzlichen Annahme, auch die Bogomolny-Gleichung zu lösen, nicht alle Lösungen.
Verbindung zu den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist eine Lösung der zweiten Yang-Mills-Higgs-Gleichung, da diese dann direkt auf die Bianchi-Identität zurückfällt:
Literatur
Weblinks
Bogomolny equation auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie Kategorie:Magnetismus