In der Mathematik ist der Interpolationssatz von Marcinkiewicz, welcher von Józef Marcinkiewicz im Jahr 1939 aufgestellt wurde, ein Ergebnis zur Begrenzung der Normen nichtlinearer Operatoren, die auf -Räumen wirken.

Eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz befasst sich mit der Hardy-Littlewood-Maximalfunktion.

Wichtige Definitionen Sei ein Operator von in den Raum der Lebesgue-messbaren Funktionen auf mit Werten in , und : ist sublinear, falls für fast alle gilt:

und

heißt quasi-linear, falls es ein gibt, sodass für fast alle gilt:

ist vom starkten -Typ mit , falls es eine Konstante (unabhängig von ) gibt, sodass

ist vom schwachen -Typ mit , falls es ein (unabhängig von ) gibt, sodass

für alle und alle

Marcinkiewicz I Sei und ein quasi-linearer Operator, der vom schwachen -Typ ist und vom starken -Typ ist mit den Schranken

und

Dann ist vom starken -Typ für jedes und es gilt

Mit einer Konstante .

Marcinkiewicz II Dieser Satz befasst sich mit der Interpolation zwischen zwei endlichen Exponenten, wobei man zeigt, dass die Interpolation zwischen zwei Bedingungen vom schwachen Typ einen Operator vom starken Typ für alle Zwischenexponenten ergibt.

Seien und ein quasi-linearer Operator, der vom schwachen -Typ ist, wobei mit den Schranken

und

ist. Dann ist vom starken -Typ für jedes und es gilt , wobei die Bedingung erfüllt und die Konstante nur von und abhängt.

Siehe auch Interpolationssatz von Stampacchia

Literatur J. Marcinkiewicz: Sur l'interpolation d'operations. In: C. R. Acad. Sci. 208, Paris 1939, S. 1272–1273. (gallica.bnf.fr) A. Zygmund: On a theorem of Marcinkiewicz concerning interpolation of operations. In: Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série, Band 35, 1956, S. 223–248. A. Lunardi: Interpolation theory. 3. Auflage. Scuola Normale Superiore di Pisa (New Series), 2018, ISBN 978-88-7642-639-1. Richard A. Hunt, Guido Weiss: The Marcinkiewicz interpolation theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 15, Nr. 6, 1964, S. 996–998. (ams.org)

Kategorie:Analysis