Eine topologische Kategorie (auch topologisch angereicherte Kategorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie eine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie. In der höheren Kategorientheorie können diese als eine mögliche Modellierung von ∞-Kategorien benutzt werden. Zu anderen Möglichkeiten gehören simpliziale Mengen, simplizial angereicherte Kategorien, Segal-Räume und Segal-Kategorien.
Definition Eine topologische Kategorie ist eine lokal kleine über der Kategorie der kompakt generierten Hausdorff-Räume angereicherte Kategorie, also vereinfacht dass für alle Objekte die Hom-Mengen jeweils kompakt generierte Hausdorff-Räume sind (also in liegen) und die durch Komposition auf diesen induzierte Morphismen stetig sind (also in liegen). Die (nicht mehr lokal kleine) Kategorie der topologischen Kategorien wird als notiert.Higher Topos Theory, Definition 1.1.1.3.
Beispiele ist selbst eine topologische Kategorie. Deren interner Hom-Funktor ist für topologische Räume gegeben durch die Kompakt-Offen-Topologie:
Verbindung zu simplizial angereicherten Kategorien Sei die Kategorie der simplizialen Mengen, dann bilden die geometrische Realisierung und der singuläre Funktor eine Adjunktion mit .Higher Categories and Homotopical Algebra, Example 1.2.7. Beide Funktoren können auch auf sämtliche Hom-Mengen einer entsprechend angereicherten Kategorie angewendet werden. Eine simplizial angereicherte Kategorie erzeugt damit eine topologische Kategorie durch:
Eine topologische Kategorie erzeugt damit eine simplizial angereicherte Kategorie durch:
Dadurch ergeben sich induzierte Funktoren und eine induzierte Adjunktion mit .Higher Topos Theory, Remark 1.1.4.3.
Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie Die Homotopiekategorie einer topologischen Kategorie ist die Kategorie mit:Higher Topos Theory, Definition 1.1.3.2.
Dabei sind die Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raumes und die Zusammenhangskomponenten einer simplizialen Menge,Higher Categories and Homotopical Algebra, 3.1.30. wobei .Kerodon, Remark 1.2.2.5
Zusammen mit der Homotopiekategorie einer simplizial angereicherten Kategorie ist diese Operation verträglich mit den obigen Umwandlungen von topologischen und simplizial angereicherten Kategorien ineinander: Für eine topologische Kategorie gibt es also einen kanonischen Isomorphismus und für eine simplizial angereicherte Kategorie einen kanonischen Isomorphismus .
Literatur
Weblinks
topologically enriched category auf nLab (englisch) Jacob Lurie, Kerodon (ergänzter Inhalt von Higher Topos Theory)
Einzelnachweise
Kategorie:Kategorientheorie