Die Formel von Besge () ist eine mathematische Formel, die dem Gebiet der Zahlentheorie zuzurechnen ist. Sie geht auf einen Brief eines Monsieur Besge aus dem Jahre 1862 zurück, in dem Besge den Mathematiker Joseph Liouville von dieser Formel in Kenntnis setzte. Die Formel behandelt endliche diskrete Faltungen der Teilersummenfunktion mit sich selbst.Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125 ff.
Darstellung der Formel Die Formel besagt folgendes:Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 125 Für jede natürliche Zahl gilt die Gleichung .Mit bezeichnet man die arithmetische Funktion, die jeweils die Summe der -ten Potenzen der positiven Teiler zu jeder natürlichen Zahl bildet.
Folgerung: Der Satz von Glaisher Aus der Formel von Besge ergibt sich eine bekannte Reihenentwicklung, die dem englischen Mathematiker James Whitbread Lee Glaisher zugerechnet wird:Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 126Der in der englischsprachigen Wikipedia angegebene Satz von Glaisher (Glaisher's theorem), der Partitionen nichtnegativer ganzer Zahlen behandelt, stimmt mit dem hier angegebenen nicht überein. Für jede komplexe Zahl mit gilt die Gleichung .
Hintergrund: Eine allgemeine Formel von Liouville Die obige Besge’sche Formel beruht auf einer allgemeinen Formel von Liouville aus dem Jahre 1858:Kenneth S. Williams: Number Theory in the Spirit of Liouville., S. 100 ff., S. 125 Gegeben seien eine natürliche Zahl und eine gerade Funktion .
Dann gilt die Gleichung . ist diejenige arithmetische Funktion, welche jeder natürlichen Zahl die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet. Weiter symbolisiert der senkrechte Strich die Teilereigenschaft, bedeutet also so viel wie „ist Teiler von“. Die Besge’sche Formel ergibt sich dann, indem man als Funktion die Quadratfunktion wählt.
Historisches Um wen es sich bei besagtem Monsieur Besge konkret handelt, ist nicht vollständig geklärt. Nicht zuletzt gibt es die auf den Mathematikhistoriker Jesper Lützen zurückgehende Vermutung, dass „Besge“ ein Pseudonym von Liouville selbst ist.
Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen
Besge, Formel von