Die fraktionale Caputo-Ableitung ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung von Ableitungen für nicht-ganzzahlige Ordnungen benannt nach Michele Caputo. 1967 definierte Caputo diese Form der fraktionalen Ableitung das erste Mal.
Motivation Die fraktionale Caputo-Ableitung ist motiviert aus den fraktionalen Riemann–Liouville-Integral. Sei stetig in , dann ist das fraktionale Riemann–Liouville-Integral aus gegeben durch
wobei die Gammafunktion ist.
Man definiert mit der Eigenschaft und . Wenn gilt, folgt daraus . Sollte also sein, so folgt
Der Zusammenhang wird als fraktionale Caputo-Ableitung bezeichnet, mit der häufig genutzten Notation .
Definition Die erste Definition der fraktionale Caputo-Ableitung wurde von Caputo gegeben durch:
mit und .
Eine andere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:
wobei und ist die Aufrundungsfunktion. Das kann aus der vorherigen Formel durch die Substitution und den Fakt, dass gilt, und somit folgt.
Eine weitere beliebte äquivalente Definition ist gegeben durch:
mit .
Das Problem mit diesen Definitionen ist, dass sie nur Argumente in zulassen. Das kann behoben werden, indem die untere Grenze des Integrals mit ausgetauscht wird: . Der neue Definitionsbereich ist .
Eigenschaften und Sätze
Wichtige Eigenschaften und Sätze Einige wichtige Eigenschaften sind: +Eine Tabelle wichtiger Eigenschaften und SätzeEigenschaftenBedingungDefinitionLinearitätIndexregelHalbgruppenregel
Antikommutativität Die Indexregel ist nicht kommutativ:
mit .
Fraktionale Produktregel Die Produktregel für die fraktionale Caputo-Ableitung ist gegeben durch:
mit als der Binomialkoeffizient.
Beziehung zu anderen fraktionalen Differentialoperatoren Die fraktionale Caputo-Ableitung ist eng verbunden mit dem fraktionalen Riemann–Liouville-Integral, bedingt durch ihre Definition:
Des Weiteren gilt folgende Relation:
wobei die fractionale Riemann–Liouville-Ableitung ist.
Laplace-Transformation Die Laplace-Transformation der fraktionalen Caputo-Ableitung ist gegeben durch:
mit .
Fraktionale Caputo-Ableitung einiger Funktionen Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Konstante ist gegeben durch:
Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Potenzfunktion ist gegeben durch:
Die fraktionale Caputo-Ableitung einer Exponentialfunktion ist gegeben durch:
wobei die -Funktion und die untere unvollständige Gammafunktion ist.
Weblinks Ricardo Almeida: A Caputo fractional derivative of a function with respect to another function
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis