rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Satz des Pythagoras Der Satz des Pythagoras (auch als pythagoreischer Lehrsatz und als Hypotenusensatz bezeichnet) ist einer der fundamentalen Sätze der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass in allen ebenen rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates ist. Sind also und die Längen der am rechten Winkel anliegenden Seiten, der Katheten, und ist die Länge der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite, der Hypotenuse, so besagt der Satz, dass die sogenannte pythagoreische Gleichung
gilt.
Der Satz ist nach Pythagoras von Samos benannt, der als Erster dafür einen mathematischen Beweis gefunden haben soll, was allerdings in der Forschung umstritten ist. Die Aussage des Satzes war schon lange vor der Zeit des Pythagoras in Babylon und Indien bekannt, es gibt jedoch keinen Nachweis dafür, dass man dort auch einen Beweis hatte.
Mathematische Aussage Der Satz des Pythagoras lässt sich folgendermaßen formulieren:
Sind , und die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei und die Längen der Katheten sind und die Länge der Hypotenuse ist, so gilt .
In geometrischer Deutung ist demnach in einem rechtwinkligen Dreieck die Summe der Flächen der beiden Quadrate über den Katheten gleich der Fläche des Quadrats über der Hypotenuse.
Die Umkehrung des Satzes gilt ebenso:
Gilt die Gleichung in einem Dreieck mit den Seitenlängen , und , so ist dieses Dreieck rechtwinklig, wobei der rechte Winkel der Seite gegenüberliegt.Für die in Schulbüchern (s. Lehrbuch von Johannes Kratz, S. 174–175) gängige Formulierung des pythagoreischen Lehrsatzes wird manchmal der Terminus der Flächensumme benutzt:
Im rechtwinkligen Dreieck stimmt die Flächensumme der beiden Kathetenquadrate mit der Fläche des Hypotenusenquadrats überein.
Der zugehörige Kehrsatz wird dabei folgendermaßen formuliert: Stimmt in einem Dreieck die Flächensumme zweier Seitenquadrate mit der Fläche des dritten Seitenquadrats überein, so ist das Dreieck rechtwinklig.
Eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras sind der Höhensatz und der Kathetensatz. Diese beiden Sätze und der Satz des Pythagoras bilden zusammen die Satzgruppe des Pythagoras. Der unten beschriebene Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des pythagoreischen Satzes.
Anwendungen mini|Anwendung und Erklärung des Pythagoräischen Satzes
Längen im rechtwinkligen Dreieck Aus dem Satz des Pythagoras folgt direkt, dass die Länge der Hypotenuse gleich der Quadratwurzel aus der Summe der Kathetenquadrate ist, also
.
Eine einfache und wichtige Anwendung des Satzes ist, aus zwei bekannten Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks die dritte zu berechnen. Dies ist durch Umformung der Gleichung für alle Seiten möglich:
Die Umkehrung des Satzes kann dazu verwendet werden, zu überprüfen, ob ein gegebenes Dreieck rechtwinklig ist. Dazu wird getestet, ob die Gleichung des Satzes für die Seiten bei dem gegebenen Dreieck zutrifft. Es reicht also allein die Kenntnis der Seitenlängen eines gegebenen Dreiecks, um daraus zu schließen, ob es rechtwinklig ist oder nicht:
Sind die Seitenlängen z. B. , und , dann ergibt sich , und daher ist das Dreieck rechtwinklig. Sind die Seitenlängen z. B. , und , dann ergibt sich , und daher ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse länger als jede der Katheten und kürzer als deren Summe ist. Letzteres ergibt sich auch aus der Dreiecksungleichung.
Reziproke Längen im rechtwinkligen Dreieck
mini|hochkant=2.1 |Inverser Satz des Pythagoras mit Hilfe ähnlicher Dreiecke:Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik - 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen, Springer Spektrum, Springer-Verlag GmbH Berlin 2015, ISBN 978-3-662-45460-2, S. 46.
Sind und die Längen der Katheten und die Länge der Höhe auf der Hypotenuse in einem rechtwinkligen Dreieck, dann folgt als direkte Anwendung des Satzes des Pythagoras der inverse Satz des Pythagoras: .
Zur visuellen Ergänzung zeigt die Abbildung die Konstruktion eines zu ähnlichen Dreiecks , dessen Seiten durch die reziproken Längen und gebildet werden. Für den Zusammenhang zwischen den beiden Dreiecksflächen gilt:
Pythagoreische Tripel
rahmenlos|rechts|hochkant=1|Dreieck rechtwinklig 1 Unter allen Dreiergruppen , die die Gleichung erfüllen, gibt es unendlich viele, bei denen , und jeweils ganze Zahlen sind. Diese Dreiergruppen werden pythagoreische Tripel genannt. Das einfachste dieser Tripel besteht aus den Zahlen , und . Die beiden kurzen Seiten bilden einen rechten Winkel.
Der große fermatsche Satz besagt, dass die -te Potenz einer Zahl, wenn ist, nicht als Summe zweier Potenzen des gleichen Grades dargestellt werden kann. Gemeint sind ganze Grundzahlen und natürliche Hochzahlen. Allgemein gesprochen bedeutet dies:
Die Gleichung besitzt für ganzzahlige und natürliche Zahlen keine Lösung.
Das ist erstaunlich, weil es für unendlich viele Lösungen gibt. Für sind dies die pythagoreischen Zahlentripel.
Trotz seiner einfachen Formulierung gilt der Beweis des großen fermatschen Satzes, der erst 1995 erbracht werden konnte, als außerordentlich schwierig.
Euklidischer Abstand
Der Satz von Pythagoras liefert eine Formel für den Abstand zweier Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem. Sind zwei Punkte und in einer Ebene gegeben, dann ist ihr Abstand durch
gegeben. Hierbei wird ausgenutzt, dass die Koordinatenachsen senkrecht zueinander liegen. Diese Formel kann auch auf mehr als zwei Dimensionen erweitert werden und liefert dann den euklidischen Abstand. Zum Beispiel gilt im dreidimensionalen euklidischen Raum
.
Das entspricht auch dem Betrag bzw. der Länge des durch die beiden Punkte definierten Vektors.
Beweise Für den Satz sind mehrere hundert Beweise bekannt,Eli Maor: The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 0-691-12526-0., S. XIII (Vorwort). womit er wohl der meistbewiesene mathematische Satz ist. Elisha Scott Loomis führt in einem zuerst 1927 erschienenen Buch 371 Beweise auf.Elisha S.Loomis: The Pythagorean Proposition, Cleveland 1927, 2. Auflage 1940, Nachdruck: The National Council of Teachers of Mathematics, Washington D. C. 1968.371 nach Maor The Pythagorean Theorem, Princeton UP, S. 98. Loomis selbst gibt in der 2. Auflage 367 an. Die genaue Anzahl der Beweis in dem Buch von Loomis ist aufgrund seiner nicht durchgängigen Aufzählungsmethode und der Tatsache, dass einige zirkulär oder unzureichend sind und andere nur Variationen voneinander, nicht ganz klar, Hidden harmonies. The Live and Times of the Pythagorean Theorem, Bloomsbury Press, 2011, Kapitel 5. Mario GerwigGerwig, Der Satz des Pythagoras in 365 Beweisen, Springer Spektrum 2021. führt in einer Überarbeitung und Ergänzung der Loomis-Sammlung rund 365 verschiedene Beweise auf, wobei er Loomis rund 360 Beweise zuordnet und eine ganze Reihe von Fehlern, darunter auch die Aufnahme offensichtlich falscher Beweise. Exemplarisch werden im Folgenden acht geometrische Beweise vorgestellt. Ein neunter Beweis aus dem Jahr 1875 von James A. Garfield findet sich unter Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield, der dem Beweis durch Ergänzung stark ähnelt.
Beweis nach Euklid mini|hochkant=1.4|Beweis nach Euklid: schraffierte Dreiecke sind kongruent, gleich farbene Vierecke flächengleich
Euklid beschreibt den Satz des Pythagoras mit dem folgenden Beweis im ersten Buch seiner Elemente in der Proposition 47.Euclids Elements, Book 1, Proposition 47, David Joyce. Dort beweist er zunächst den Kathetensatz mit Hilfe kongruenter Dreiecke, aus welchem dann unmittelbar der Satz des Pythagoras folgt. Der Beweis benutzt nicht die Theorie der Proportionen, die Euklid im Buch 5 der Elemente entwickelt, sondern kommt allein mit den Sätzen des ersten Buches der Elemente aus und ist von konstruktiver Natur.
Für ein Dreieck mit rechtem Winkel in sind und die Quadrate über den Katheten und der Fußpunkt der Höhe von auf . Des Weiteren sind und Rechtecke über der Hypotenuse , deren längere Seite die Länge der Seite besitzt. Nun sind die Dreiecke und nach dem zweiten Kongruenzsatz (SWS) kongruent, da , und gilt. Zudem gilt, dass die Fläche des Dreiecks die Hälfte der Fläche des Rechtecks beträgt, da die Grundseite des Dreiecks und die Rechteckseite gleich lang sind und die Länge seiner Höhe von der Länge der anderen Rechteckseite entspricht. Aufgrund eines entsprechenden Arguments folgt, dass die Fläche des Dreiecks der Hälfte der Fläche des Kathetenquadrates entspricht. Wegen der Kongruenz der Dreiecke und bedeutet dies aber, dass dann auch das Kathetenquadrat flächengleich mit dem Rechteck ist. Analog lässt sich mit Hilfe der kongruenten Dreiecke und zeigen, dass das zweite Kathetenquadrat flächengleich mit dem Rechteck ist. Damit hat man den Kathetensatz bewiesen. Der Satz des Pythagoras folgt dann sofort, da das Hypotenusenquadrat sich aus den Rechtecken und zusammensetzt.
Es gibt noch einen weiteren Beweis des Satzes von Pythagoras in den Elementen in Buch 6, Proposition 31 (siehe unten).Euclids Elements, Book 6, Proposition 31, David Joyce. Er benutzt statt Quadraten zueinander ähnliche Rechtecke auf den drei Seiten, ist formal einfacher als der Beweis im ersten Buch durch Verwendung der Theorie der Proportionen, die erst von Eudoxos von Knidos streng begründet wurde. Pythagoras kann beide Beweise aller Wahrscheinlichkeit nach nicht gekannt haben, da sie einem fortgeschritteneren Verständnis der Geometrie entsprechenEli Maor: The Pythagorean Theorem. Princeton University Press 2007, S. 42. Proklos schrieb die Beweise in seinem Kommentar zu den Elementen explizit Euklid zu und drückte seine Bewunderung für beide Beweise aus.
Euklid gibt in der letzten Proposition 48 von Buch 1 zusätzlich eine Umkehrung des Satzes von Pythagoras, indem er zeigt, dass aus der Gleichheit der Fläche des Hypotenusenquadrats und der Summe der Flächen der Kathetenquadrate folgt, dass einer der Winkel des Dreiecks ein rechter Winkel ist.Elemente, Buch 1, Proposition 48, David Joyce.
Der erste Beweis (I, 47) wird wegen der Form der Hilfslinien in der zugehörigen Figur im englischen Sprachraum gelegentlich auch windmill (Windmühle) genannt,John C. Sparks: The Pythagorean Theorem. Crown Jewel of Mathematics, AuthorHouse, Bloomington, Indiana 2008, S. 36.Maor, The Pythagorean Theorem, Princeton UP, 2007, S. 45. Arthur Schopenhauer nahm den ersten Beweis von Euklid als Beispiel für dessen in seiner Sicht willkürliche und wenig anschauliche Vorgehensweise („Oft werden, wie im Pythagoreischen Lehrsatze, Linien gezogen, ohne dass man weiss warum: hinterher zeigt sich, dass es Schlingen waren, die sich unerwartet zuziehen“, und so die Zustimmung Lernenden erzwingen, „der nun verwundert zugeben muß , was ihm seinem inneren Zusammenhang nach völlig unbegreiflich bleibt“)Schopenhauer, Die Welt als Wille und Vorstellung, Band 1, in Julius Frauenstädt (Hrsg.), Schopenhauers Sämtliche Werke, Band 2, Brockhaus, 2. Auflage 1877, S. 84. Felix Klein verteidigte den Beweis dagegen in einer Erwiderung auf Schopenhauers Kritik als besonders anschaulich und demonstrierte dies in seiner Elementarmathematik vom höheren Standpunkt.Felix Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkt, Band 2, Springer 1925, S. 258.
Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte mini|247px|Bild 2:Addition abgeleiteter Flächeninhalte aus dem Zhoubi suanjingmini|240px|Bild 1:Beweis durch Addition abgeleiteter Flächeninhalte aus dem Zhoubi suanjing