Die Gleichung von Tatuzawa-Iseki () ist eine Identität aus dem mathematischen Teilgebiet der Analytischen Zahlentheorie, die auf eine wissenschaftliche Arbeit der beiden Mathematiker Tikao Tatuzawa und Kanesiro Iseki aus dem Jahre 1951 zurückgeht. Die Gleichung erlaubt einen Zugang zu einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes.G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 206–222Unter einem elementaren Beweis des Primzahlsatzes versteht man – in Anschluss an Tschebyscheff – einen Beweis, der ohne die Methoden der Funktionentheorie und insbesondere ohne die Anwendung der komplexen riemannschen Zetafunktion auskommt.

Formulierung der Gleichung Die Gleichung lässt sich darstellen wie folgt:G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214 ff.

Gegeben sei das unbeschränkte reelle Intervall und darauf eine reellwertige oder komplexwertige Funktion (mit oder ). Dazu werde die Funktion mit für reelles gebildet.Im Weiteren verweist für eine reelle Zahl die Schreibung in verkürzter Form auf die Summation . Hat man hier anstelle des Buchstabens den Buchstaben , so wird über alle Primzahlen summiert. Steht indes unter dem Summenzeichen , so verläuft die Summation über alle geordneten Paare von Primzahlen, deren Produkt die reelle Zahl nicht übersteigt.

Weiter seien – wie üblich – die Von Mangoldt-Funktion, die tschebyscheffsche Psi-Funktion , die Möbius-Funktion und der natürliche Logarithmus.

Dann gilt für stets die Gleichung

Selbergsche Formel Aus der obigen Gleichung ergibt sich ein übersichtlicher Beweis der sogenannten Selbergschen Formel ()Die hiesige selbergschen Formel ist eine andere als die (ebenfalls auf Atle Selberg zurückgehende) selbergsche Spurformel!, die von ihrem Urheber, dem norwegischen Mathematiker Atle Selberg, im Jahre 1948 gefunden und im Jahre 1949 veröffentlicht wurde. Von dieser Formel, welche Grundlage der meisten elementaren Beweise des PrimzahlsatzesDie ersten zwei elementaren Beweise des Primzahlsatzes wurden von Atle Selberg selbst und von dem ungarischen Mathematiker Paul Erdős in 1948 gefunden und in 1949 publiziert. ist, gibt es eine größere Anzahl von gleichwertigen Versionen, von denen eine sich folgendermaßen angeben lässt:

Es sei – wie üblich – mit die tschebyscheffsche Psi-Funktion bezeichnet. Dann gilt für reelles – unter Anwendung der O-Notation – stets die Gleichung

Mit Hilfe dieser Formel (und unter Zuhilfenahme äquivalenter Versionen) lässt sich dann zeigen, dass

und damit der Primzahlsatz gilt.G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 207, S. 214–221Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 339–349Ernst Trost: Primzahlen. 1953, S. 66 ff.

Weitere Versionen der selbergschen Formel Bezeichnet man – wie üblich – mit die tschebyscheffsche Theta-Funktion und ist eine reelle Zahl gegeben, so sind mit der obigen Version der selbergschen Formel – nicht zuletzt! – auch die folgenden gleichwertig:Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 293 ff.G. J. O. Jameson: The Prime Number Theorem. 2004, S. 214–216Harald Scheid: Zahlentheorie. 2003, S. 341–343

(1) (2) Vermöge dieser Version gelang Paul Erdős in 1948 der Beweis, dass die Primzahlfolge die Grenzwertbeziehung erfüllt. (Siehe Melvyn B. Nathanson: Elementary Methods in Number Theory. 2000, S. 321–322!) (3)

Literatur

Einzelnachweise

Anmerkungen

Kategorie:Analytische Zahlentheorie