Ordinalzahl

mini|300px|Ordinalzahlen von 0 bis ωω Ordinalzahlen sind mathematische Objekte, die das Konzept der Position oder des Index eines Elementes in einer Folge auf beliebige wohlgeordnete Mengen verallgemeinern. Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl Null) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat

Positionen in Folgen werden als natürliche Zahlen aufgefasst (sprachlich durch die Ordinalia erstes, zweites, drittes, … Element ausgedrückt), welche die endlichen Ordinalzahlen bilden. Neben den natürlichen Zahlen treten noch weitere Ordinalzahlen auf

wobei die kleinste unendliche Ordinalzahl ist, die abzählbar ist (und größer als jede natürliche Zahl). Das Symbol bezeichnet üblicherweise die erste überabzählbare unendliche Ordinalzahl.

Entscheidend bei dieser Verallgemeinerung ist, dass wie bei Folgen eine kleinste Position (die Ordinalzahl Null) existiert und jedes Element (mit Ausnahme eines eventuell vorhandenen letzten Elements) einen eindeutigen Nachfolger hat. Da totale Anordnungen, die diese Bedingungen erfüllen, immer noch sehr verschiedene Strukturen haben können, führt man als zusätzliche Bedingung ein, dass es zu jeder nichtleeren Teilmenge von Indizes einen minimalen Index geben soll, und gelangt so zu Wohlordnungen.

Ordinalzahlen erlauben die Verallgemeinerung der auf Folgen beschränkten Beweisverfahren der vollständigen Induktion auf beliebig große Mengen oder auch echte Klassen, sofern sie sich wohlordnen lassen, mittels des Verfahrens der transfiniten Induktion.

Die Beschreibung der Größe einer Menge, naiv gesprochen der Anzahl ihrer Elemente, führt im Gegensatz dazu zu dem Begriff Kardinalzahl (eins, zwei, drei, …).

Georg Cantor hatte die Idee, wie man die beiden Konzepte – Zahl als Größe und Zahl als Index – innerhalb der Mengenlehre auf unendliche Mengen verallgemeinern kann; denn während sie für endliche Mengen übereinstimmen, muss man sie für unendliche Mengen unterscheiden. Kardinalzahlen werden dabei als spezielle Ordinalzahlen definiert. Die Gesamtheit der Ordinalzahlen, die man meistens mit oder bezeichnet, bildet in der modernen Mengenlehre – genauso wie die Gesamtheit der Kardinalzahlen – keine Menge, sondern eine echte Klasse.

Für viele dieser Überlegungen (wie etwa transfinite Induktion und die Definition von Kardinalzahlen als Ordinalzahlen) ist das Auswahlaxiom bzw. der dazu äquivalente Wohlordnungssatz vonnöten.

Ordinalzahlen sind von besonderer Bedeutung für die Mengenlehre, in anderen Gebieten der Mathematik werden auch andere verallgemeinerte Indizierungen verwendet, etwa in Netzen und Filtern, die von besonderer Bedeutung für die Topologie sind und über anderen Ordnungen als Wohlordnungen operieren. Insbesondere verallgemeinern diese verallgemeinerten Indizierungen im Gegensatz zu Ordinalzahlen das für Folgen wichtige Konzept der Konvergenz.

Geschichte der Entdeckung Der moderne mathematische Begriff der Ordinalzahlen wurde maßgeblich von dem Mathematiker Georg Cantor entwickelt. Die grundlegende Idee fand er bei Untersuchungen über die Eindeutigkeit der Darstellung reeller Funktionen durch trigonometrische Reihen. Allerdings erwies sich die Ordinalzahltheorie für diese Untersuchungen letztlich nicht als fruchtbar.

Aus Vorarbeiten von Eduard Heine war bekannt, dass die im Intervall stetigen Funktionen eine eindeutige Darstellung als trigonometrische Reihen haben. Cantor zeigte (1870), dass dies für jede Funktion richtig ist, deren trigonometrische Reihe überall konvergiert. Die Frage nach der Existenz von weiteren Funktionenklassen, die diese Eigenschaft besitzen, ist damit aber noch nicht beantwortet. Schon der Satz von Heine ist für Funktionen richtig, die fast überall stetig sind, also solche mit einer endlichen Menge von Unstetigkeitsstellen. Die Frage nach der Eindeutigkeit ist äquivalent zu der Frage, ob das Verschwinden der trigonometrischen Reihe

auf der Menge auch das Verschwinden der Koeffizienten und nach sich zieht. Mengen mit dieser Eigenschaft werden Mengen vom Typ U genannt (aus dem französischen unicité – Eindeutigkeit) und alle anderen Mengen – Mengen vom Typ M (multiplicité – Mehrdeutigkeit).S. Natanson, 1977, Kapitel X., § 6. Endliche Mengen sind also Mengen vom Typ U. Indem man zweimal integriert, erhält man die Riemann-Funktion:S. Riemann Function (bei MathWorld).

Wenn linear ist, dann sind alle und gleich . Wenn man also für eine Menge beweisen würde, dass aus die Linearität von folgt, dann wäre damit auch die Zugehörigkeit von zum Typ U bewiesen worden. Cantor verwendet diese Idee in seinem Artikel Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihenin: Mathematische Annalen 5 (1872) S. 123–132 vom Jahre 1871 und zeigt:

„Ist (p,q) irgendein Intervall, in dem nur eine endliche Anzahl von Punkten der Menge P liegt, so ist F(x) in diesem Intervalle linear …“ (dort Seite 131)

Falls unendlich ist, dann hat sie mindestens einen Häufungspunkt. Cantor nennt die Menge der Häufungspunkte einer Menge abgeleitete Menge und bezeichnet sie mit , die abgeleitete von bezeichnet er mit usw. (siehe Hauptartikel: Ableitung einer Menge). Falls nach endlich vielen Schritten eine endliche Menge erreicht wird, dann nennt Cantor die Menge eine Menge -ter Art. Cantor stellt fest, dass sich die Linearität von in dem Intervall auch dann beweisen lässt, wenn endlich viele Punkte der Menge enthält, wobei die Korrektheit dieser Aussage von der Wahl der natürlichen Zahl nicht abhängig ist. Mengen mit einer leeren mehrfachen Ableitung sind also immer vom Typ U.

In diesem Artikel gehen die Cantorschen Überlegungen noch nicht über endliche Iterationsprozesse hinaus; allerdings enthält er schon Denkmuster, die später die gesamte Mengenlehre prägen werden. Er ordnet der Veranschaulichung der reellen Zahlen durch geometrische Punkte eine zweitrangige Rolle zu, indem er die reellen Zahlen als Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge der rationalen Zahlen definiert. Die Menge dieser Folgen bezeichnet er mit und definiert dort die für üblichen Rechenarten. Cauchy-Folgen aus Elementen der Menge bilden eine weitere Menge . Dieser Prozess lässt sich theoretisch ins Unendliche fortsetzen. Cantor versteht von nun an unter Punkt ein Element irgendwelcher Mengen , , , … Der Aufbau solcher geordneter Hierarchien, bei denen der Übergang von einer Stufe zur nächsten durch Grenzübergänge erfolgt, ist später zu einem häufig eingesetzten Mittel zur Einführung neuer mengentheoretischer Begriffe geworden. Wir werden sehen, dass eine solche Hierarchie auch bei den Ordnungszahlen zu erkennen ist.

Nach dieser Arbeit über trigonometrische Reihen hat sich das Interesse Cantors für das Problem einer gleichzeitig notwendigen und hinreichenden Bedingung für die Eindeutigkeit der Entwicklung von Funktionen in trigonometrischen Reihen abgeschwächt. Die Frage ist später sehr intensiv von Paul Du Bois-Reymond, Charles-Jean de La Vallée Poussin, William Henry Young, Arnaud Denjoy, Nina Bari, Raichmann und Dmitri Jewgenjewitsch Menschow untersucht worden, allerdings ohne dabei zu einem zufriedenstellenden Ergebnis zu kommen. Cantor selbst hat sich der Aufgabe gewidmet, die Punktmengen danach zu klassifizieren, wann der Prozess des Ableitens endet. Mengen, bei denen das nach endlich vielen Schritten passiert, nennt Cantor Mengen der ersten Gattung. Eine Menge ist genau dann eine Menge der ersten Gattung, wenn der Durchschnitt

leer ist. Ein natürlicher Gedanke dabei ist, genau diese Menge zu der ersten Ableitung transfiniter Ordnung für Mengen zweiter Gattung zu machen. Cantor bezeichnet sie mit . Darauf folgen die Ableitungen

Cantor schreibt in seinem Artikel Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten von 1880:2. Artikel in: Mathematische Annalen 17 (1880) 357f

„Durch consequentes Fortschreiten gewinnt man successive die weiteren Begriffe:

usw.; wir sehen hier eine dialektische Begriffserzeugung, welche immer weiter führt und dabei frei von jeglicher Willkür in sich nothwendig und consequent bleibt.“

In diesem nicht einmal fünf Seiten langen Artikel ist der ganze Weg vorgezeichnet, wie man aus den natürlichen Zahlen ein vollständiges transfinites System von Ordnungszahlen entwickeln kann. 1883 definierte Cantor diese Zahlenreihe mit zwei Erzeugungsprinzipien, der „Hinzufügung einer Einheit zu einer vorhandenen schon gebildeten Zahl“ und der Bildung einer nächstgrößeren Zahl als Grenze, welcher die vorher definierten Zahlen zustreben, und zwar in der Aufsatzreihe Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten.in: Mathematische Annalen 21 (1883), S. 576f. Von Ordinalzahlen sprach er dann ab 1895 und definierte sie in seinen beiden Artikeln Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre von 1895/97 als Ordnungstypen wohlgeordneter Mengen. in: Mathematische Annalen 46 (1895) Seite 499 und Mathematische Annalen 49 (1897) S. 207

Die natürlichen Zahlen als geordnete Mengen mini|Visualisierung der Konstruktion natürlicher Zahlen nach John von Neumann Die Ordinalzahlen sind in der modernen Mathematik ein Begriff der Mengenlehre. Um sie als Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu definieren, ist es naheliegend, die natürlichen Zahlen in eine mengentheoretische Hierarchie einzubetten.Was auch für die Mathematik insgesamt deshalb von Vorteil ist, weil dadurch zahlreiche weitere mathematische Begriffe eine mengentheoretische Interpretation erhalten. Dabei erklärt man die leere Menge für die Null der natürlichen Zahlenfolge. Die leere Menge ist also die im Peano-Axiomensystem der natürlichen Zahlen speziell ausgezeichnete und nicht explizit definierte Zahl ohne Vorgänger. Nach einem Vorschlag von John von Neumann definiert man dann jede weitere Zahl als die Menge der Zahlen, die schon definiert sind:15. August 1923 – Brief von Johann von Neumann an Ernst Zermelo (s. H. Meschkowski: Problemgeschichte der neueren Mathematik. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1978, ISBN 3-411-01542-X. XIV.1. sowie Tafel 10.)

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Die Mengen , , usw. sind durch die Elementrelation () wohlgeordnet. Zum Beispiel hat die Menge die Elemente , , , , die durch geordnet werden. Man schreibt deshalb auch . Eine natürliche Zahl ist also kleiner als eine Zahl , wenn ein Element von ist. Für die gesamte Menge der natürlichen Zahlen setzt man: . Die Menge stellt ein Modell des Peano-Axiomensystems dar. Ihre Existenz wird in der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre durch das Unendlichkeitsaxiom gesichert.

Motivation und Definition Die Theorie der Ordinalzahlen ist eine Abstraktionstheorie, bei der von der wahren Natur der Mengenelemente abgesehen wird und nur solche Eigenschaften untersucht werden, die aus ihrer Anordnung abgeleitet werden können. Man definiert dazu: Eine Bijektion von der total geordneten Menge auf die total geordnete Menge heißt Ordnungsisomorphismus (oder ähnliche Abbildung), wenn und für alle äquivalent sind. Man sagt: die Mengen und sind ordnungsisomorph (oder ähnlich) und schreibt , wenn es zwischen und einen Ordnungsisomorphismus gibt. Eine Gesamtheit aller zueinander ordnungsisomorphen Mengen stellt eine Äquivalenzklasse dar, die Ordnungstypus genannt wird.

Man kann zeigen, dass jede endliche wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer natürlichen Zahl ist. Außerdem sind für eine wohlgeordnete Menge die folgenden drei Aussagen äquivalent: Sie ist endlich. Die umgekehrte Ordnung ist eine Wohlordnung. Jede nichtleere Teilmenge hat ein größtes Element.

Dies liefert die Grundlage für die Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen zu Ordinalzahlen, die als spezielle wohlgeordnete Mengen so gewählt werden, dass jede wohlgeordnete Menge ordnungsisomorph zu genau einer Ordinalzahl ist. Somit ist jede Ordinalzahl also spezieller Repräsentant eines bestimmten Ordnungstypus. Die folgende Definition verbessert Cantors Ansatz und wurde zuerst von John von Neumann angegeben: