Prouhet-Tarry-Escott-Problem

In der Mathematik verlangt das Prouhet-Tarry-Escott-Problem nach zwei disjunkten Multimengen A und B mit jeweils ganzen Zahlen, deren erste symmetrische Potenzsummenpolynome alle gleich sind. Anders formuliert, sollten die beiden Multimengen folgende Gleichungen erfüllen: für alle ganzen Zahlen zwischen 1 und einem gegebenen Es konnte gezeigt werden, dass sein muss.

Mit anderen Worten werden ganzzahlige Lösungen für das folgende Gleichungssystem gesucht:

Oder kurz: mit

Lösungen, die bis gelten, nennt man ideale Lösungen.

Ideale Lösungen sind bekannt für und für . Somit sind keine idealen Lösungen bekannt für und für .

Das Problem wurde nach den drei Mathematikern Eugène Prouhet, Gaston Tarry und Edward B. Escott benannt, die es in den frühen 1850er-Jahren (Prouhet) bzw. in den frühen 1910er-Jahren (Tarry & Escott) untersuchten. Das Problem selbst geht auf Briefe von Christian Goldbach und Leonhard Euler aus den Jahren 1750/1751 zurück.

Definitionen Eine symmetrische Lösung hat die folgende Form: und für gerade und und für ungerade und

Lösungen, die obige Eigenschaft nicht besitzen, heißen nicht-symmetrische Lösungen.

Beispiele Eine ideale Lösung für ist die folgende:The Prouhet-Tarry-Escott Problem – Ideal symmetric solutions

oder kurz: für oder mit der Schreibweise, mit der dieser Artikel eingeführt wurde: Eine ideale Lösung für ist für die beiden Mengen und bekannt. Eine weitere, noch kürzere Schreibweise ist die folgende: ist eine ideale Lösung für (oder ). Die beiden Mengen und sind bezüglich symmetrisch, weil sie die folgende Form haben: und Diese Lösung wurde von G. Tarry im Jahr 1912 entdeckt.

Eine ideale (und bezüglich sogar symmetrische) Lösung für ist für die beiden Mengen und bekannt: und . Es gilt also: bzw. für

Eine ideale (und bezüglich sogar symmetrische) Lösung für ist für die beiden Mengen und bekannt: und . Es gilt also: bzw. für

Eine ideale (und bezüglich sogar symmetrische) Lösung für ist für die beiden Mengen und bekannt. Es gilt also:

für Diese Lösung wurde von Nuutti Kuosa, Jean-Charles Meyrignac und Chen Shuwen im Jahr 1999 entdeckt.

Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für und , die bezüglich symmetrisch sind:

Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für und , die bezüglich irgendeinem symmetrisch sind:

Es folgen ein paar bekannte ideale Lösungen für , die nicht-symmetrisch sind (für andere sind bis dato keine bekannt):The Prouhet-Tarry-Escott Problem – Ideal non-symmetric solutions

Eigenschaften Sei und mit eine Lösung, also: für Dann gilt:The Prouhet-Tarry-Escott ProblemAlbert Gloden, Mehrgradige Gleichungen, Noordhoff, Groningen, 1944H. L. Dorwart und O. E. Brown, The Tarry-Escott Problem, Amer. Math. Monthly 44, 1937, S. 613–626 Auch und mit und ganzzahligem ist Lösung. Lösungen, die mit dieser Methode zustande kommen, werden äquivalente Lösungen genannt. Diese Eigenschaft ermöglicht es, Lösungen zu standardisieren, indem beispielsweise gefordert wird, dass sie nur positive Zahlen enthalten.

Sei und mit eine Lösung. Dann gilt:Loo Keng Hua, Introduction to Number Theory, Springer, 1982 Auch und mit und ganzzahligem ist Lösung.

Sei und mit eine Lösung. Sei weiters und . Dann gilt: Auch und mit ist Lösung.

Sei und mit eine nicht triviale Lösung. Dann gilt:

Ist , so nennt man die Lösungen (wie schon oben erwähnt) ideale Lösungen.

Methode zur Bestimmung von Lösungen Der französische Mathematiker Prouhet nutzte die Thue-Morse-Folge, um eine Lösung für für alle zu finden. Im Speziellen unterteilte er die Zahlen zwischen und in a) die Zahlen, deren Binärdarstellung (also die Darstellung im Dualsystem) eine gerade Anzahl an Einsen enthält (die sogenannten bösen Zahlen), und b) die Zahlen, deren Binärdarstellung eine ungerade Anzahl an Einsen enthält (die sogenannten abscheulichen Zahlen). Dann ergeben die beiden Mengen der Unterteilung eine Lösung des Problems. Beispiel: Sei und . Dann gilt für die Unterteilung der Zahlen von bis : 0=(0)2, 3=(11)2, 5=(101)2, 6=(110)2, 9=(1001)2, 10=(1010)2, 12=(1100)2 und 15=(1111)2 Diese 8 Zahlen haben in ihrer Binärentwicklung allesamt eine gerade Anzahl an Einsen, sind somit böse Zahlen und bilden die Menge . 1=(1)2, 2=(10)2, 4=(100)2, 7=(111)2, 8=(1000)2, 11=(1011)2, 13=(1101)2 und 14=(1110)2 Diese 8 Zahlen haben in ihrer Binärentwicklung allesamt eine ungerade Anzahl an Einsen, sind somit abscheuliche Zahlen und bilden die Menge . Tatsächlich erhält man eine Lösung für das Gleichungssystem: für

Verallgemeinerung Seien zwei positive ganze Zahlen. Dann sind zwei ganzzahlige Multimengen und gesucht, sodass gilt: für alle mit . Diese höherdimensionale Variante des Prouhet-Tarry-Escott Problems wurde von Andreas Alpers und Robert Tijdeman im Jahr 2007 eingeführt und untersucht.

Beispiel Sei und . Dann gilt: und Mit anderen Worten:

Es sind keine Lösungen für mit bekannt.

Siehe auch Eulersche Vermutung Jacobi-Madden-Gleichung Pythagoreisches Quadrupel Satz von Erdös-Suranyi Taxicab-Zahl

Weblinks

Choudry, Ajai: Ideal Solutions of the Tarry-Escott Problem of Degrees Four and Five and Related Diophantine Systems, L’Enseignement mathématique 49 (2003), S. 101–108

Einzelnachweise

Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Zahlentheorie