Die Jacobi-Vermutung in der Mathematik besagt, dass eine Polynomfunktion von einem -dimensionalen Raum in sich selbst, deren Jacobi-Determinante einen konstanten und von null verschiedenen Wert hat, eine polynomielle Umkehrfunktion besitzt. Die Vermutung wurde erstmals 1939 von Ott-Heinrich Keller aufgestelltKeller, Ott-Heinrich (1939), „Ganze Cremona-Transformationen“, Monatshefte für Mathematik und Physik, 47 (1): 299–306, doi:10.1007/BF01695502, ISSN 0026-9255 und von Shreeram Abhyankar als ein Beispiel für eine schwierige Frage in der algebraischen Geometrie, die auch mit wenigen Kenntnissen der Differentialrechnung verstanden werden kann, weiter verbreitet.
Die Jacobi-Vermutung ist Nummer 16 in Smales Liste von mathematischen Problemen für das 21. Jahrhundert. Sie ist für eine große Anzahl letztlich fehlerhafter Beweisversuche bekannt.
Im Juli 2026 veröffentlichte der 1992 geborene US-amerikanisch-türkische Mathematiker Levent Alpöge, Mathematiker bei Anthropic, auf X ein Gegenbeispiel, das die Vermutung für widerlegt. Für zweidimensionale Vektorräume () bleibt die Vermutung weiterhin ungelöst.
Die Vermutung ist nach dem Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851) benannt.
Jacobi-Determinante
Für eine feste ganze Zahl betrachte Polynome in den Variablen mit Koeffizienten in einem Körper . Dann definiert
eine vektorwertige Funktion . Jede auf diese Weise entstehende Abbildung wird als Polynomabbildung bezeichnet.
Die Jacobi-Determinante von wird als Determinante der Jacobi-Matrix definiert:
,
dabei sind die einzelnen als formale Ableitungen zu verstehen. Dann ist selbst ein Polynom in Variablen über dem Körper .
Formulierung der Vermutung
Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt, dass wenn eine polynomiale Umkehrfunktion hat, dann gilt . Es folgt, dass und Konstanten ungleich null sind. Die Jacobi-Vermutung ist die folgende partielle Umkehrung: Der Körper habe Charakteristik 0. Wenn eine Konstante ungleich null ist, dann besitzt eine Umkehrfunktion , die ebenfalls Polynomabbildung ist. Laut van den Essenvan den Essen, Arno (1997), "Polynomial automorphisms and the Jacobian conjecture" (PDF), Algèbre non commutative, groupes quantiques et invariants (Reims, 1995), Sémin. Congr., vol. 2, Paris: Soc. Math. France, pp. 55–81, MR 1601194 wurde das Problem erstmals von Keller im Jahr 1939 für den Fall von zwei Variablen und ganzzahligen Koeffizienten formuliert.
Für den Fall wurde die Vermutung allerdings bereits 1884 von Ludwig Kraus formuliert.Ludwig Kraus: Ueber Functionaldeterminanten. In: Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften in Wien, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Band 90. Wien 1884.
Die Jacobi-Vermutung scheitert für Charakteristik selbst bei einer Variablen. Die Charakteristik eines Körpers muss, wenn sie nicht null ist, eine Primzahl sein. Das Polynom hat die Ableitung , die wegen konstant 1 ist, aber es hat keine Umkehrfunktion. Allerdings schlug Kossivi Adjamagbo vor, die Jacobi-Vermutung auf Charakteristiken derart zu erweitern, dass man zusätzlich voraussetzt, dass nicht den Grad der Körpererweiterung teilt.Adjamagbo, Kossivi (1995), "On separable algebras over a U.F.D. and the Jacobian conjecture in any characteristic", Automorphisms of affine spaces (Curaçao, 1994), Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 89–103, doi:10.1007/978-94-015-8555-2_5, ISBN 978-90-481-4566-9, MR 1352692
Die Existenz einer polynomiellen Umkehrfunktion ist offensichtlich, wenn nur aus linearen Funktionen besteht, denn dann wird die Umkehrfunktion auch von dieser Gestalt sein. Ein einfaches nichtlineares Beispiel ist
,
sodass sich für die Jacobi-Determinante
ergibt. In diesem Fall existiert die gewünschte Umkehrfunktion, denn obige Gleichungen kann man leicht nach und auflösen:
Aber wenn wir nur leicht abändern zu
dann ist die Determinante
nicht konstant, das heißt die Voraussetzung aus der Jacobi-Vermutung trifft nicht zu. Die Funktion hat zwar immer noch eine Umkehrfunktion:
aber der Ausdruck ist offensichtlich keine Polynomabbildung.
Die Bedingung ist mit dem Satz über die Umkehrfunktion in der mehrdimensionalen Analysis verbunden. In der Tat existiert für glatte Funktionen (und somit insbesondere für Polynome) an jedem Punkt, an dem ungleich null ist, eine glatte lokale Umkehrfunktion. Zum Beispiel hat die Abbildung eine glatte (sogar globale) Umkehrfunktion, aber die Umkehrfunktion ist kein Polynom.
Reelle Jacobi-Vermutung Die reelle Jacobi-Vermutung (manchmal auch starke reelle Jacobi-Vermutung) lautet wie folgt: Sei eine polynomiale Abbildung, so dass für die Jacobi-Determinante für alle gilt, dann ist eine Bijektion. Da hier im Gegensatz zur klassischen Jacobi-Vermutung die Jacobi-Determinante keine Konstante sein muss, spricht man auch von der starken reellen Jacobi-Vermutung.
Ergebnisse Stuart Sui-Sheng Wang bewies die Jacobi-Vermutung für Polynome vom Grad 2. Wang, Stuart Sui-Sheng (August 1980), "A Jacobian criterion for separability", Journal of Algebra, 65 (2): 453–494, doi:10.1016/0021-8693(80)90233-1 Hyman Bass, Edwin Connell und David Wright zeigten, dass der allgemeine Fall aus dem Spezialfall folgt, bei dem die Polynome vom Grad 3 sind, oder noch genauer, vom kubisch homogenen Typ, was bedeutet, dass sie die Form haben, wobei jedes entweder null oder ein homogenes Polynom vom Grad 3 ist.Bass, Hyman; Connell, Edwin H.; Wright, David (1982), "The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse", Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 7 (2): 287–330, doi:10.1090/S0273-0979-1982-15032-7, ISSN 1088-9485, MR 0663785 Ludwik Drużkowski zeigte, dass man weiter annehmen kann, dass die Abbildung vom kubisch linearen Typ ist, was bedeutet, dass die von null verschiedenen Kuben homogener linearer Polynome sind.Drużkowski, Ludwik M. (1983), "An effective approach to Keller's Jacobian conjecture", Mathematische Annalen, 264 (3): 303–313, doi:10.1007/bf01459126, MR 0714105 Diese Reduktionen führen zusätzliche Variablen ein und sind daher für festes nicht anwendbar.
Edwin Connell und Lou van den Dries zeigten, dass, wenn die Jacobi-Vermutung falsch ist, auch ein Gegenbeispiel mit ganzzahligen Koeffizienten und Jacobi-Determinante 1 existieren muss.Connell, Edwin; van den Dries, Lou (1983), "Injective polynomial maps and the Jacobian conjecture", Journal of Pure and Applied Algebra, 28 (3): 235–239, doi:10.1016/0022-4049(83)90094-4, MR 0701351 Folglich ist die Jacobi-Vermutung entweder für alle Körper der Charakteristik 0 wahr oder für keinen. Für eine feste Dimension ist sie wahr, wenn sie für mindestens einen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 gilt.
Sei der Polynomring und die -Unteralgebra, die von erzeugt wird. Für ein gegebenes ist die Jacobi-Vermutung genau dann wahr, wenn .
Keller (1939) bewies den birationalen Fall, das heißt, wenn die beiden Körper und gleich sind. Der Fall, in dem eine Galoiserweiterung von ist, wurde von Andrew Campbell für komplexe AbbildungenCampbell, L. Andrew (1973), "A condition for a polynomial map to be invertible", Mathematische Annalen, 205 (3): 243–248, doi:10.1007/bf01349234, MR 0324062, im Allgemeinen von Michael RazarRazar, Michael (1979), "Polynomial maps with constant Jacobian", Israel Journal of Mathematics, 32 (2–3): 97–106, doi:10.1007/bf02764906, MR 0531253 bewiesen und davon unabhängig auch von David Wright.Wright, David (1981), "On the Jacobian conjecture", Illinois Journal of Mathematics, 25 (3): 423–440, doi:10.1215/ijm/1256047158, MR 0620428 Tzuong-Tsieng Moh überprüfte die Vermutung für Polynome vom Grad höchstens 100 in zwei Variablen.Moh, Tzuong-Tsieng (1983), "On the Jacobian conjecture and the configurations of roots", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1983 (340): 140–212, doi:10.1515/crll.1983.340.140, ISSN 0075-4102, MR 0691964, S2CID 116143599Moh, Tzuong-Tsieng, On the global Jacobian conjecture for polynomials of degree less than 100, preprint
Michiel de Bondt und Arno van den Essende Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "A reduction of the Jacobian conjecture to the symmetric case", Proceedings of the American Mathematical Society, 133 (8): 2201–2205, doi:10.1090/S0002-9939-05-07570-2, hdl:2066/33302, MR 2138860de Bondt, Michiel; van den Essen, Arno (2005), "The Jacobian conjecture for symmetric Drużkowski mappings", Annales Polonici Mathematici, 86 (1): 43–46, doi:10.4064/ap86-1-5, MR 2183036 und Ludwik DrużkowskiDrużkowski, Ludwik M. (2005), "The Jacobian conjecture: symmetric reduction and solution in the symmetric cubic linear case", Annales Polonici Mathematici, 87: 83–92, doi:10.4064/ap87-0-7, MR 2208537 zeigten unabhängig voneinander, dass es ausreicht, die Jacobi-Vermutung für komplexe Abbildungen vom kubisch homogenen Typ mit symmetrischer Jacobi-Matrix zu beweisen, und zeigten weiter, dass die Vermutung für Abbildungen vom kubisch linearen Typ mit symmetrischer Jacobimatrix über jedem Körper der Charakteristik 0 gilt.
Die starke reelle Jacobi-Vermutung besagt, dass eine reelle Polynomabbildung mit überall nichtverschwindender Jacobi-Determinante eine glatte globale Umkehrfunktion hat. Das ist äquivalent zur Frage, ob eine solche Abbildung topologisch eine eigentliche Abbildung ist, in welchem Fall sie eine Überlagerung einer einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeit und daher invertierbar ist. Sergey Pinchuk konstruierte zweidimensionale Gegenbeispiele vom Gesamtgrad 35 und höher.Pinchuk, Sergey (1994), "A counterexample to the strong real Jacobian conjecture", Mathematische Zeitschrift, 217 (1): 1–4, doi:10.1007/bf02571929, MR 1292168
Es ist bekannt, dass die Dixmier-Vermutung die Jacobi-Vermutung impliziert. Umgekehrt wurde von Yoshifumi TsuchimotoTsuchimoto, Yoshifumi (2005), "Endomorphisms of Weyl algebra and p {\displaystyle p}-curvatures", Osaka Journal of Mathematics, 42 (2): 435–452, ISSN 0030-6126 und unabhängig davon von Alexei Belov-Kanel und Maxim Kontsevich Belov-Kanel, Alexei; Kontsevich, Maxim (2007), "The Jacobian conjecture is stably equivalent to the Dixmier conjecture", Moscow Mathematical Journal, 7 (2): 209–218, arXiv:math/0512171, Bibcode:2005math.....12171B, doi:10.17323/1609-4514-2007-7-2-209-218, MR 2337879, S2CID 15150838 gezeigt, dass die Jacobi-Vermutung für Variablen die Dixmier-Vermutung in Dimensionen impliziert. Ein in sich geschlossener und rein algebraischer Beweis dieser letzten Implikation wurde auch von Kossivi Adjamagbo und Arno van den EssenAdjamagbo, Pascal Kossivi; van den Essen, Arno (2007), "A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures" (PDF), Acta Mathematica Vietnamica, 32: 205–214, MR 2368008 gegeben, die in derselben Arbeit auch bewiesen, dass diese beiden Vermutungen äquivalent zur Poisson-Vermutung sind.
Bekannte Lösungen Gegenbeispiel für N > 2 Im Juli 2026 gab Levent Alpöge eine Polynomabbildung vom Grad 7 an, welche die Voraussetzung der Vermutung erfüllt, jedoch nicht injektiv ist und daher keine Umkehrfunktion besitzt. Sie ist durch
gegeben und besitzt die konstante Jacobi-Determinante . Wegen
nimmt an drei verschiedenen Stellen denselben Wert an und ist folglich nicht injektiv. Beide Eigenschaften lassen sich durch Differentiation und Einsetzen unmittelbar nachrechnen.
Dieses Gegenbeispiel widerlegt die Vermutung für und damit auch für höhere Dimensionen, da sich weitere Dimensionen trivial hinzufügen lassen, ohne das Ergebnis zu beeinflussen. Für zweidimensionale Vektorräume () bleibt die Vermutung weiterhin ungelöst.
Es entstand laut Alpöge unter Verwendung des Large Language Models Claude Fable von Anthropic. Eine begutachtete Veröffentlichung liegt bislang nicht vor, die Widerlegung wurde aber von Wissenschaftlern wie Abhishek Saha, Chris Bowman-Scargill, Ivan Fesenko und Terence Tao geprüft und bestätigt. Auswirkungen dieser Widerlegung werden für weitere ungelöste Probleme der Mathematik von Zihan Zhang beschrieben.