Zeittafel Vorgeschichte 5. Jhd. v. Chr. Erste Infinitesimale Betrachtungen 4. Jhd. v. Chr.Exhaustionsmethode und Unterscheidung zwischen potenzieller und aktualer Unendlichkeit 14. Jhd. Erster nichttrivialer Divergenzbeweis einer Reihe 17. Jahrhundert 1635 Prinzip von Cavalieri 1636 Fermats Werk Methodus ad disquirendam maximam et minimam; Tangentenbestimmung 1637 Descartes Werk La Géométrie; Tangentenbestimmung 1660er Entwicklung der Fluxionenmethode 1668 Veröffentlichung der Potenzreihe für den natürlichen Logarithmus 1684 Leibniz’ Werk Nova Methodus Pro Maximis Et Minimis 1686 Newtons Werk Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica 1696 Untersuchung des Brachistochronenproblems; Anfänge der Variationsrechnung 18. Jahrhundert 1710er Eskalation des Prioritätenstreits zwischen Newton und Leibniz 1734 Berkeleys Werk The Analyst. A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician 1735 Lösung des Basler Problems 1755 Eulers Werk Introductio in analysin infinitorum 1797 Lagranges Werk Théorie des fonctions analytiques 19. Jahrhundert 1821 Cauchys Werk Cours d'Analyse 1822 Fouriers Werk Théorie analytique de la chaleur; Fourieranalysis 1837 Beweis, dass an jedem Punkt einer holomorphen Funktion eine Potenzreihe sich entwickeln lässt; Funktionentheorie 1854 Riemanns Habilitationsschrift; Mannigfaltigkeit 1859 Formulierung der Riemannschen Vermutung 1886 Veröffentlichung der Weierstraß-Funktion 20. Jahrhundert 1902 Formulierung des Maßproblems; beginn der Maßtheorie und des Lebesgue-Integrals 1905 Konstruktion der Vitali-Menge, damit Widerlegung des Maßproblems 1918–1939 Wirken der Lemberger Mathematikerschule; Funktionalanalysis 1966 Robinsons Werk Nonstandard Analysis; Begründung der Nichtstandardanalysis
Die Geschichte der Analysis beschreibt die Entwicklung eines der wichtigsten Teilgebiete der Mathematik. Das Gebiet, welches als „Rechnung mit dem unendlich Großen und unendlich Kleinen“ umschrieben werden kann, ist vor allem im Laufe des 17. und 18. Jahrhunderts mit der Entwicklung der Differential- und Integralrechnung durch Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entstanden, aber schon lange zuvor befassten sich Mathematiker und Philosophen mit Fragen des Grenzwertes, der Flächenberechnung und der Änderungsrate gegebener Größen, die man heutzutage zu diesem Themengebiet zählen würde. Zu Beginn war die Analysis heftiger Kritik ausgesetzt, da ihre Behandlung der Unendlichkeit wenig logisch fundiert erschien und sogar zu falschen Ergebnissen führen konnte. Durch die Arbeiten von Bernard Bolzano, Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß im 19. Jahrhundert wurden die Mängel beseitigt – allerdings auf Kosten der bis dahin sehr anschaulichen Erklärungen.
Durch den Erfolg der Analysis bei der Beschreibung physikalischer Prozesse und ihren zahlreichen anderen Anwendungen in den angewandten Wissenschaften konnte sich die Analysis schlussendlich als festes Teilgebiet der Mathematik durchsetzen. Ab dem 19. Jahrhundert erfuhr die Analysis mit größer werdender Abstraktion eine deutliche Ausbreitung, was zur Entstehung von zahlreichen Teilgebieten oder verwandten Disziplinen wie der Funktionentheorie, Funktionalanalysis und Differentialgeometrie führte.
Vorgeschichte Frühe Berechnungsmethoden mit der Exhaustionsmethode mini|Näherung eines Kreises mit regelmäßigen Vielecken
Auch wenn man die Entstehung der Analysis erst in der Neuzeit verortet, so kann man bereits in der Antike Ansätze und Erörterungen über das Unendliche selbst erkennen. Ansätze waren schon bei Fragen der Flächenberechnung im alten Ägypten und Babylonien bekannt. In Griechenland sind besonders vom Sophisten Antiphon und Gelehrten Eudoxos von Knidos im vierten Jahrhundert vor Christus erste Überlegungen erkennbar gewesen, die Fläche von krummlinigen Figuren mithilfe von geradlinigen Figuren zu approximieren. Statt den Flächeninhalt eines Kreises direkt auszurechnen, „erschöpft“ (lat. exhaurire) man den Kreis mithilfe von eingezeichneten Vielecken. Mittels dieser Exhaustionsmethode kann man den Flächeninhalt des Vielecks berechnen, was im Allgemeinen leichter auszurechnen ist, und dadurch eine gute Näherung erhalten. Auf diesen Ideen aufbauend ist ein Algorithmus von Archimedes zur Ausrechnung der Kreiszahl überliefert worden. Eine andere bekannte Anwendung der Methode ist die Quadratur der Parabel. Damit sind bereits erste Überlegungen zur Integralrechnung und Konvergenz von Reihen erkennbar gewesen. Auf Basis dieser Methoden gelang es Archimedes folgenden Sachverhalt zu zeigen:
Für eine Kugel und einen Kreiszylinder, dessen Grundfläche einem größten Kugelkreis der Kugel und dessen Höhe dem Kugeldurchmesser entspricht, stehen die Flächeninhalte der Oberflächen und die Volumina beider Körper jeweils in demselben Verhältnis und dabei gilt:
Nach Plutarch sei er auf das Ergebnis so stolz gewesen, dass er sich testamentarisch auf seinem Grab eine Darstellung einer Kugel und eines Zylinders gewünscht habe.Plutarch: Marcellus, XII, XVII.
Philosophische Kritik mini|Graphische Veranschaulichung von Achilles und der Schildkröte
Trotz dieser Erfolge zeigte sich schon früh Kritik an dem Konzept der Unendlichkeit. Besonders bekannt sind die Paradoxa des Philosophen Zenon von Elea, mit der er im fünften Jahrhundert vor Christus schon frühe Überlegungen zur Differentialrechnung zeigte. Davon seien im Folgenden drei genannt:
Teilungsparadoxon: Bewegung ist unmöglich, da man jede Entfernung, die ein Objekt zurückzulegen hat, zunächst halbieren, dann die Hälfte halbieren usw. und in beliebig viele, immer kleinere, Teile zerlegen kann, aber wie viele Teile man auch nimmt, es bleibt immer noch ein Restabstand bis zum Endpunkt. Achilles und die Schildkröte: Da Achilles schneller als die Schildkröte ist, gewährt er ihr einen Vorsprung. Doch, obwohl er schneller ist, kann er sie nie fangen. Bis er nämlich den Startpunkt der Schildkröte erreicht hat, ist sie etwas vorwärtsgekommen. Bis Achilles diesen Punkt erreicht, ist die Schildkröte wieder noch etwas weiter gekrochen. Achilles würde die Schildkröte nie einholen. Pfeilparadoxon: Zu jedem Zeitpunkt ist der Pfeil in einer Position, die man nicht von einer unbeweglichen Position des Pfeiles unterscheiden kann. Also ist die Bewegung des Pfeiles unmöglich.
Zusätzlich zu Zenons Kritik gab es in der Antike schon früh unterschiedliche Ansichten, ob es Unendlichkeit überhaupt gebe, und, falls ja, welche Art von Unendlichkeit existiert. Für Atomisten wie Demokrit, die daran glauben, dass die Welt aus kleinsten unteilbaren Elementen bestehen, sind solche Einwände von vorneherein nichtig, aber das Phänomen der Bewegung können sie dadurch nicht erklären. Besonders autoritativ erwies sich Aristoteles’ Ansicht, nach der es zwar potenzielle Unendlichkeit in der Welt gebe, aber aktuale Unendlichkeit sich nur auf „dasjenige, außerhalb dessen immer noch etwas ist“, beziehe.Aristoteles, Physik 3, 207a1 Damit gemeint ist etwa, dass man eine gegebene Linie potenziell in beliebig viele kleine Teile teilen kann. Die Linie selbst sei aber nicht aus unteilbaren (möglicherweise unendlich kleinen) Teilstücken zusammengesetzt, was der heute gängigen mathematischen Praxis widerspricht, dass eine Linie eine Menge von Punkten sei, da Punkte unteilbar sind. Ebenso folgte daraus eine grundsätzliche Ablehnung von Infinitesimalzahlen, also Zahlen, die kleiner als alle anderen Zahlen sind. Denn gäbe es solche Zahlen, müsste man diese doch teilen können, aber die geteilten Zahlen sind doch kleiner als die ursprüngliche Infinitesimalzahl, was einen Widerspruch darstellt. 286x286px|mini|Dreht sich der Kreis im Uhrzeigersinn um O, gibt es keinen Punkt, in dem sich L und L' zum ersten Mal schneiden. mini|Jeder Punkt auf der Diagonalen lässt sich auf einen Punkt der Kante des Quadrats abbilden.
Auch die Philosophen und Mathematiker zur Blütezeit des Islam beschäftigten sich mit den Problemen des aktual Unendlichen. Avicenna bietet in seinen Schriften mindestens zwei Argumente gegen die aktuale Unendlichkeit, unter anderem ein kinematisches Argument. Avicennas „Argument der Kollimation“ (burhān al-musāmita) bzw. „Argument der Parallelität“ (burhān al-muwāzā), eine überarbeitete Version eines aristotelischen Arguments aus Über den Himmel, lautet wie folgt: Betrachte einen Kreis mit Mittelpunkt (siehe Grafik). An fixiere man nun eine Linie , die sich (aktual) unendlich in die Höhe erstreckt. Man betrachte nun noch eine weitere (aktual) unendliche und zu parallele Linie . Avicenna bemüht nun ein kinematisches Argument, um die Annahme aktualer Unendlichkeit ad absurdum zu führen: Nimmt man an, dass sich der Kreis zusammen mit im Uhrzeigersinn zu drehen beginnt, dabei aber unbeweglich und fest bleibt, muss es in dieser Bewegung – so Avicenna – einen Moment geben, in dem die Linien parallel sind, und einen Moment, in dem sie sich in einem Punkt kreuzen. Avicenna bemerkt, dass unabhängig davon, wie winzig die Auslenkung von auch sein mag, immer schon ein Punkt existiert, in dem sie sich schneiden müssen. Da Avicenna aber meint, dass die Kreisbewegung möglich sein müsse, wird aus der unerwünschten Konsequenz die Voraussetzung verworfen, nämlich dass es ein aktual Unendliches gibt. Aus heutiger Sicht kritisierbar ist, aus dem Umstand der Existenz eines „Moments der Parallelität“ und eines „Moments des Schnittes“ zu folgern, dass es auch einen Moment gibt, in dem sich diese Linien zum ersten Mal schneiden. Anders formuliert: Das Intervall besitzt kein kleinstes Element. Ob sich der reale Raum (bzw. das Kontinuum) oder die reale Zeit mit Hilfe reeller Zahlen modellieren lässt – eine Frage, die bereits Zenons Paradoxien aufwerfen – wird im Abschnitt 6.4 angeschnitten.
Al-Ghazali, der die klassische Frage der Ewigkeit der Welt behandelte – ob das Universum aktual unendlich lange existiere –, weist die Bejahung dieser Frage mit folgendem „Widerspruchsbeweis“ zurück: Er nimmt zunächst an, dass das Sonnensystem „schon immer“ in seinem gegenwärtigen Zustand verharrt habe. Al-Ghazali vertrat, wie zu seiner Zeit üblich, ein geozentrisches Weltbild. Unter Absehung dieses kosmologischen Anachronismus, lässt sich das weitere Argument aber auch im heliozentrischen Modell darstellen: Jupiter und Erde würden in dieser (aktual unendlichen) Zeit des Bestehens unendlich viele Drehungen um die Sonne gemacht haben, wobei eine Umdrehung des Jupiters dreizehn Umdrehungen der Erde entspreche. Damit müssten Erde und Jupiter einerseits jeweils unendlich oft um die Sonne gekreist sein; andererseits die Erde aber dreizehn Mal so häufig wie Jupiter. Al-Ghazali hielt dies für einen Widerspruch und schloss daraus, dass das Universum nicht unendlich lange existieren könne. Roger Bacon präsentiert in seinem Opus maius ein weiteres Argument gegen den Atomismus, das ebenfalls auf al-Ghazali zurückgeht: Obwohl in einem Quadrat die Diagonale stets länger als die Kantenlänge ist, lässt sich jeder Punkt der Diagonalen auf einen Punkt der Kante abbilden (siehe nebenstehende Grafik). Damit müssten beide Strecken aus derselben Anzahl von Atomen bestehen, was absurd erscheint.
Stillstand in Europa