In der Ringtheorie, einem Zweig der Algebra, bezeichnet das Jacobson-Radikal eines Rings ein Ideal von , das Elemente von enthält, die man als „nahe an Null“ betrachten kann. Das Jacobson-Radikal ist nach Nathan Jacobson benannt, der es als erster untersucht hat.
Jacobson-Radikal von R-Moduln Im Folgenden sei ein Ring mit Eins und ein R-Linksmodul.
Definition Der Durchschnitt aller maximalen -Untermoduln von wird als (Jacobson-)Radikal (oder kurz ) bezeichnet.
Ist endlich erzeugt, so gilt: . Dabei heißt ein Element von überflüssig, wenn für jeden Untermodul gilt: Aus folgt bereits .
Eigenschaften Ist endlich erzeugt und ein Untermodul von mit , dann ist bereits . Diese Eigenschaft wird auch als Lemma von Nakayama bezeichnet. Ist endlich erzeugt und , dann ist . (Dies ist der Spezialfall der vorigen Aussage.) gilt genau dann, wenn isomorph zu einem Untermodul eines direkten Produktes einfacher -Moduln ist. ist genau dann endlich erzeugt und halbeinfach, wenn artinsch und ist.
Jacobson-Radikal von Ringen Im Folgenden sei ein Ring mit Eins.
Definition Das Jacobson-Radikal des Ringes wird als das Jacobson-Radikal des -Linksmoduls definiert. Es wird als notiert und durch folgende gleichwertige Bedingungen charakterisiert: als Durchschnitt aller maximalen Linksideale / Rechtsideale als Durchschnitt aller Annullatoren einfacher Links--Moduln / Rechts--Moduln
Eigenschaften Der Ring ist genau dann halbeinfach, wenn er linksartinsch und ist. Für jeden linksartinschen Ring ist der Ring halbeinfach. Ist linksartinsch, dann gilt für jeden -Linksmodul : . ist das kleinste Ideal von mit der Eigenschaft, dass halbeinfach ist. Ist ein Nillinksideal von , dann gilt: . Ist linksartinsch, dann ist ein nilpotentes Ideal. Ist linksartinsch, dann ist das Jacobson-Radikal gleich dem Primradikal. Mit dem Zornschen Lemma folgt für jeden Ring die Existenz maximaler Ideale, für gilt also .
Beispiele Das Jacobson-Radikal eines Schiefkörpers ist ; ebenso das Jacobson-Radikal von . Das Jacobson-Radikal von ist . Das Jacobson-Radikal des Rings aller oberen -Dreiecksmatrizen über einem Körper enthält diejenigen oberen Dreiecksmatrizen, deren Diagonaleinträge verschwinden. Das Jacobson-Radikal jedes lokalen Rings ist sein maximales Ideal, besteht also gerade aus seinen Nicht-Einheiten. Das Jacobson-Radikal einer kommutativen Banachalgebra ist genau der Kern der Gelfand-Transformation.
Literatur
Kategorie:Ringtheorie