Ein Dirac-Bündel ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es wurde nach dem Physiker Paul Dirac benannt. Ein Dirac-Bündel ist eine spezielle Form eines Vektorbündels von Clifford-Moduln. Typischerweise werden Dirac-Bündel dafür genutzt, Dirac-Operatoren auf ihren Schnitten zu definieren.
Definition Es sei eine riemannsche Mannigfaltigkeit, bezeichne das Tangentialbündel und das Clifford-Bündel an . Ein Dirac-Bündel über der riemannschen Mannigfaltigkeit ist ein euklidisches (bzw. hermitesches) Clifford-Modul-Bündel zusammen mit einem metrischen Zusammenhang auf , so dass an
für alle und für alle Einheitsvektoren und
für alle Schnitte , und alle gilt. Mit wird hier die Fasermetrik auf bezeichnet und ist der auf induzierte Levi-Civita-Zusammenhang.
Die Bedingung
für alle Einheitsvektoren ist äquivalent dazu, dass die Clifford-Multiplikation bezüglich der Fasermetrik schiefsymmetrisch ist, das heißt es gilt
für alle .
Beispiele Spinorbündel sind Dirac-Bündel. Es sei eine Spin-Mannigfaltigkeit mit Spin-Struktur auf dem Tangentialbündel. Sei ein Spinorbündel über . Dies ist per Konstruktion ein Vektorbündel, dessen Fasern Module über sind und das die beiden definitorischen Eigenschaften erfüllt.
Anwendung Dirac-Operatoren Aus einem Dirac-Bündel erhält man den zugehörigen Dirac-Operator
mit , wobei die durch die Clifford-Multiplikation induzierte Kontraktion ist. In einem lokalen orthonormalen Rahmen von gilt .
Bochner-Laplace-Operator Der zu gehörige verallgemeinerte Laplace-Operator ist der Bochner-Laplace-Operator auf ist , wobei der formal--adjungierte Operator zu ist. In einem lokalen orthonormalen Rahmen lässt sich der Operator als
schreiben.
Die Lichnerowicz-Formel gibt einen Zusammenhang zwischen dem hier definierten Laplace-Operator und dem Quadrat des zuvor definierten Dirac-Operators.
Siehe auch Dirac-Spinor
Einzelnachweise
Kategorie:Paul Dirac als Namensgeber Kategorie:Riemannsche Geometrie