Eine Koszul-Vinberg-Algebra (auch Prä-Lie-Algebra) ist eine algebraische Struktur über einem Modul, genauer ist es eine Algebra , deren Multiplikation links- oder rechtssymmetrisch ist, dies ist gleichbedeutend zur Aussage, dass für den Assoziator die Identität oder gilt. Zur Unterscheidung spricht man von der linken und rechten Koszul-Vinberg-Algebra.
Die Koszul-Vinberg-Algebra ist nach Jean-Louis KoszulJean-Louis Koszul: Domaines bornés homogènes et orbites de groupes de transformations affines. Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 89 (1961), S. 515–533 und Ernest Borissowitsch WinbergErnest B. Winberg: Convex homogeneous cones. Transl. Moscow Math. Soc. 12 (1963), 340–403. benannt. Weitere geläufige Namen sind links- respektive rechtssymmetrische Algebra (kurz LSA und RSA), quasi-assoziative Algebra, Vinberg-Algebra und Koszul-Algebra.
Der Name Prä-Lie-Algebra kommt daher, dass eine KV-Algebra mit dem Kommutator eine Lie-Algebra respektive Lie-Zulässige-Algebra ist, siehe unten. Bei einer allgemeinen (nicht-assoziativen) Algebra ist dies nicht unbedingt der Fall.
Definition Sei ein kommutativer Ring mit Eins und eine -Algebra, das heißt ein -Modul mit einer -bilinearen Abbildung .
Der Assoziator ist definiert als
Man nennt eine linke Koszul-Vinberg-Algebra, wenn
für alle gilt.
Man nennt eine rechte Koszul-Vinberg-Algebra, wenn
für alle gilt.
Erläuterungen Ausgeschrieben gilt somit bei der linken KV-Algebra
und bei der rechten KV-Algebra
für alle .
Zusammenhang zur Lie-Algebra Der Kommutator einer Koszul-Vinberg-Algebra ist eine Lie-Klammer, denn es gilt die Jacobi-Identität
für alle .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Struktur Kategorie:Lie-Algebra