Die Enzymkinetik ist ein Teilgebiet der biophysikalischen Chemie. Sie beschreibt, wie schnell enzymkatalysierte chemische Reaktionen verlaufen. Die Enzymkinetik findet breite Anwendung in Biologie und Medizin, da auch biologische Substrate (Reaktionspartner) – darunter solche, die im Menschen auftreten – untersucht werden. Ein Hauptziel der Enzymkinetik ist die Beschreibung der Konzentrationsabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit mit geeigneten Formeln, sowie die Bestimmung der dazugehörigen Parameter für ein bestimmtes Protein (Enzymaktivität und katalytische Effizienz). Da Enzyme dazu dienen, Reaktionen zu beschleunigen und zu lenken, ist die enzymkinetische Analyse zum Verständnis von Enzymfunktionen unerlässlich.
Theorie für Enzyme mit einer Substratbindungsstelle Der Erste, der den Zusammenhang zwischen Substrat-Konzentration und Umsatzgeschwindigkeit eines Enzymes beschrieb, war der französische Physikochemiker Victor Henri 1902. Allerdings war die Bedeutung der Wasserstoffionenkonzentration für enzymatische Reaktionen damals noch nicht bekannt, erst nachdem Sørensen 1909 den pH-Wert definiert und die Pufferung eingeführt hatte, konnten der Deutsche Leonor Michaelis und seine kanadische Post-Doktorandin Maud Menten 1913 die Ergebnisse Henris experimentell bestätigen. Die Henri-Michaelis-Menten-Gleichung wurde 1925 von G. E. Briggs und J. B. S. Haldane verallgemeinert (Michaelis-Menten-Theorie).
Henris Schlüsselidee war, die enzymatische Reaktion in zwei Phasen zu zerlegen, die Bindung des Substrates S an das Enzym E und die Umsetzung des resultierenden Enzym-Substrat-Komplexes ES in Enzym und Produkt P:
(1)
Hierbei sind Geschwindigkeitskonstanten, die bei der kinetischen Herleitung des Massenwirkungsgesetzes (MWG) verwendet werden.Die Darstellung orientiert sich in freier Formulierung der hier genannten Quelle. Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Bindungsreaktion hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:
wobei die Konzentration der Substanz bezeichnet. Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Bindungsreaktion die eingeführte Formulierung des MWGs:
(2)
Da die (nach Standard im Zähler notierten) Reaktionsprodukte aus einer Dissoziation des Enzym-Substrat-Komplexes hervorgehen, wird die Gleichgewichtskonstante als Dissoziationskonstante bezeichnet.
Wie aus Gleichung (2) hervorgeht, hat die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration ist die Hälfte aller Enzymmoleküle an Substrat gebunden, die andere Hälfte ist frei; dies wird als Halbsättigung des Enzyms bezeichnet. (Die Weiterreaktion bleibt zunächst außer Betracht.) Rechnung hierzu (2)
Einsetzen von :
, wie behauptet. ist umgekehrt proportional zur Affinität des Enzymes für das Substrat: Je besser das Enzym das Substrat bindet, umso niedriger ist die für eine Halbsättigung des Enzyms erforderliche Substratkonzentration.
Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Reaktion (1) insgesamt hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:
hierbei ist die Geschwindigkeitskonstante der (als nicht umkehrbar vorausgesetzten) Reaktion . Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Reaktion (1) die eingeführte Formulierung des MWGs:
(3)
heißt Michaelis-Menten-Konstante. Zur Beschreibung der Reaktionsgeschwindigkeit der betrachteten Katalyse wird (für entsprechend geeignete Fälle) weiter vorausgesetzt: Die Konzentration des insgesamt vorhandenen Enzyms ändert sich nicht und ist die Summe aus den Konzentrationen substratgebundenen und freien Enzyms, also . Die katalysierte Reaktion ist erster Ordnung, so dass ihre Geschwindigkeit zur Konzentration des Enzym-Substrat-Komplexes proportional ist, also . Eine maximale Reaktionsgeschwindigkeit wird als Rechengröße eingeführt. Diese entspricht dem fiktiven Fall, dass sämtliches vorhandenes Enzym als Enzym-Substrat-Komplex vorliegt, also .
Durch Einführung dieser Bedingungen lässt sich (3) in die Michaelis-Menten-Gleichung umformen, die in Abhängigkeit von der Substratkonzentration darstellt:
Umformung um in den Bruch einzuführen, wird dieser mit erweitert:
Michaelis-Menten-Gleichung
Der Graph dieser Gleichung ist Teil einer Hyperbel, die sich für zunehmende der waagerechten Asymptote nähert.
Rechnung zur Klassifikation des Graphen als Teil einer Hyperbel; Betrachtung der Asymptoten A. Da und Konstanten sind, ist die Funktion
eine Hyperbel mit der waagerechten Asymptote für und der senkrechten Asymptote für . Verschiebung um in -Richtung ergibt:
(Nachfolgende) Spiegelung an der [S]-Achse ergibt:
(Nachfolgende) Verschiebung um in -Richtung ergibt:
da durch eine Verkettung von Kongruenzabbildungen aus erzeugt werden kann, ist ebenfalls eine Hyperbel. Der Graph der Michaelis-Menton-Gleichung ist die Teilmenge von , für die ist.
B. Die beiden zuerst genannten Kongruenzabbildungen ändern nichts an der waagerechten Asymptote der Hyperbel, die letztgenannte verschiebt sie um in -Richtung. Also hat die Asymptote für ; der in enthaltenen Graphen der Michaelis-Menton-Gleichung strebt für gegen diese Asymptote.
Die zuerst genannte Kongruenzabbildungen verschiebt die senkrechte Asymptote der Hyperbel um in -Richtung, die beiden letztgenannten ändern nichts an ihr. Also hat die Asymptote für . Wie aus Gleichung (3) hervorgeht, hat auch die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration ist .
Rechnung hierzu Einsetzen von in die Michaelis-Menton-Gleichung:
. Zur Bestimmung von und aus Messreihen von und dienen computergestützte Verfahren wie die nichtlineare Regressionsanalyse (Simplex- oder Levenberg-Marquardt-Verfahren). Graphische Extrapolationsverfahren (Linearisierungen) wie etwa die doppelt-reziproke Auftragung nach Lineweaver und Burk sollten dafür nicht verwendet werden, da sie zu ungenau sind. Sie eignet sich jedoch sehr gut zur Präsentation der Ergebnisse enzymkinetischer Versuche.
Theorie für Enzyme mit mehreren Substratbindungsstellen Die Hill-Gleichung und ihre Herleitung aus dem Massenwirkungsgesetz Die Hill-Gleichung wurde ursprünglich von Archibald Vivian Hill eingeführt, um die Sauerstoffbindung an Hämoglobin in Abhängigkeit von verschiedenen Sauerstoffkonzentrationen mathematisch zu beschreiben. A.V. Hill, "The possible effects of the aggregation of the molecules of haemoglobin on its dissociation curves", J Physiol 1910, 40, S. iv–vii Die hier beschriebene Hill-Gleichung ist eine andere als die Hill-Gleichung zur Beschreibung der Muskelkontraktion, an deren Erstellung der gleiche Autor beteiligt war.vgl. z. B. Jachen Denoth: „Theoretische Betrachtungen zur maximalen Leistung im Ausdauersport bei einem durch die maximale Sauerstoffaufnahme begrenzten Energieverbrauch“ in: Schweizer Zeitschrift für Sportmedizin und Sporttraumatologie 2008, 65 (2), S. 77–81
Obwohl die Bindung von Sauerstoff an Hämoglobin kein katalytischer Vorgang ist, lässt sich mit einer Hill-Gleichung auch die Kinetik enzymatischer Katalysen beschreiben, insbesondere auch solcher, deren Kinetik sich nicht mit einer Michaelis-Menten-Gleichung beschreiben lässt. Hier folgt eine Herleitung der Hill-Gleichung aus dem Massenwirkungsgesetz, die die Analogie zur Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung hervorhebt. Entsprechend bedeutet die Variable die Anzahl der Bindungsstellen, die ein Molekül Enzym für je ein Molekül Substrat bereithält, und ist damit eine positive natürliche Zahl. Die experimentell gefundenen Werte von weichen hiervon ab (s. u. "Der empirische Hill-Koeffizienten als Maß der Kooperativität von Enzymen").
Die Bindung von Molekülen Substrat an ein Enzym lässt sich modellieren mit:
(1')
Wie in Gleichung (1) sind Geschwindigkeitskonstanten, die bei der kinetischen Herleitung des Massenwirkungsgesetzes (MWG) verwendet werden. Zur Beschreibung eines Reaktionsgleichgewichts der Bindungsreaktion hat die Gleichheit der Geschwindigkeiten von Hin- und Rückreaktion die Form:
hierbei ist die Konzentration freien Enzyms, die Substratkonzentration, die Konzentration der Enzym-Substrat-Komplexe mit Molekülen Substrat. Der Exponent heißt Hill-Koeffizient. Durch die angegebenen mathematischen Operationen entsteht für die Bindungsreaktion die eingeführte Formulierung des MWGs:
(2')
Analog der Dissoziationskonstante in Gleichung (2) heißt scheinbare Dissoziationskonstante. Das Adjektiv "scheinbar" trägt der Tatsache Rechnung, dass die experimentell gemessenen Werte für von den nach diesem Modell zu erwartenden abweichen.
Wie aus Gleichung (2') hervorgeht, hat die (neu einzuführende) Konstante
(3')
die Dimension einer Konzentration. Für die Substratkonzentration ist die Hälfte aller Enzymmoleküle an Substrat gebunden, die andere Hälfte ist frei; dies wird als Halbsättigung des Enzyms bezeichnet. Rechnung Gleichsetzen der Gleichungen (2') und (3') ergibt:
Einsetzen von :
, wie behauptet.
wird daher als Halbsättigungskonstante bezeichnetz. B. zur Beschreibung einer Michaelis-Menten-Gleichung in: Hartmut Bossel: "Modellbildung und Simulation", Springer-Verlag, 13. März 2013, S. 271 und auch (für „50%“) geschrieben. ist (wie die Konstante der Michaelis-Menten-Gleichung) umgekehrt proportional zur Affinität des Enzymes für das Substrat: Je besser das Enzym das Substrat bindet, umso niedriger ist die für eine Halbsättigung des Enzyms erforderliche Substratkonzentration.
Wenn weiter vorausgesetzt wird,
dass sich die Konzentration des insgesamt vorhandenen Enzyms nicht ändert und die Summe aus den Konzentrationen substratgebundenen und freien Enzyms ist, also ,
dann ist der Anteil substratgebundenen Enzyms an insgesamt vorhandenem mit Gleichung (2'):
Hill-Gleichung
Rechnung
um in den Bruch einzuführen, wird dieser mit erweitert:
Hill-Gleichung
Um mit der Hill-Gleichung die Reaktionsgeschwindigkeit der Katalyse durch ein Enzym mit mehreren Bindungsstellen zu beschreiben, ist hinreichend, weiter vorauszusetzen:
Eine maximale Reaktionsgeschwindigkeit wird als Rechengröße eingeführt. Diese entspricht dem fiktiven Fall, dass sämtliches vorhandene Enzym als Enzym-Substrat-Komplex vorliegt, also . ist zum Anteil substratgebundenen Enzyms an insgesamt vorhandenem proportional.
Dann hat die Proportionalität die Form
(4)
Rechnung Wegen der vorausgesetzten Proportionalität von und zu existiert ein Proportionalitätsfaktor so, dass:
und
Damit ist das Verhältnis von zu :
(4)
Gleichsetzen mit der Hill-Gleichung ergibt eine Gleichung, die in Abhängigkeit von der -ten Potenz der Substratkonzentration darstellt:
(5)
Rechnung Gleichsetzen von Gleichung (4) mit der Hill-Gleichung ergibt:
(5)
Die Herleitung der Gleichung (5) ist der Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung größtenteils analog. Unterschiede sind:
Die Geschwindigkeitskonstante der katalysierten Reaktion wird nicht in die Herleitung von Gleichung (5) einbezogen: hängt im Gegensatz zu formal nicht von ab. Die Ordnung der katalysierten Reaktion wird bei der Herleitung von (5) nicht explizit betrachtet.
Statt der beiden letztgenannten Voraussetzungen geht die in Gleichung (4) formulierte Proportionalität in die Herleitung ein; ein abstrakter Proportionalitätsfaktor tritt an die Stelle von .
Weitere Darstellung für θ und für v. Die Sättigungsfunktion In der Hill-Gleichung ist von und von abhängig, selbst aber auch von (siehe Gleichung (2')). Das Verhalten der Gleichung in Abhängigkeit von ist einheitlicher darstellbar (s. u. halblogarithmisch aufgetragene Graphen), wenn durch ersetzt wird:
(6)
Umformung Einsetzen von (3'): in die Hill-Gleichung ergibt:
mit erweitern und im Zähler und Nenner kürzen:
(6)
Gleichsetzen der Gleichungen (4) und (6) ergibt eine Darstellung von , die ebenfalls nicht mehr enthält:
(7)
Rechnung Gleichsetzen der Gleichungen (4) und (6) ergibt:
(7)