Ein oktonionischer projektiver Raum ist in der Mathematik eine Verallgemeinerung der projektiven Räume von Vektorräumen über den anderen Divisionsalgebren (reelle, komplexe und quaternionische Zahlen). Da die Oktonionen nur einen Alternativkörper bilden und ihre Multiplikation nicht assoziativ ist, ist eine analoge Definition nicht für jede Dimension möglich. Es gibt dadurch nur die drei oktonionischen projektiven Räume , und .
Konstruktion Auf dem oktonionischen Raum ohne Ursprung ist die Relation , wenn es einen oktonionischen Skalar mit gibt, eine Äquivalenzrelation, jedoch nur wenn . ist der Faktorraum von unter dieser Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse einer Koordinate wird als notiert.
Alle Beispiele
ist der einpunktige Raum. wird oktonionische projektive Linie genannt und ist homöomorph zur -Sphäre . Die zusammen mit der Projektion erzeugte Abbildung zwischen Sphären ist die oktonionische Hopf-Faserung . wird oktonionische projektive Ebene oder Cayley-Ebene genannt. Nach dem Satz von Arnold-Kuiper-Massey ist der Quotientenraum unter Wirkung der ersten symplektischen Gruppe die -Sphäre:
Eigenschaften
ist homöomorph zu . Dabei ist eine der exzeptionellen Lie-Gruppen und die neunte Spin-Gruppe. ist homöomorph zum Kofaserprodukt , also dem des Diagramms .
Algebraische Topologie
Homotopie Die Homotopiegruppen der oktonionischen projektiven Ebene sind gegeben durch:
Weitere Homotopiegruppen sind:
(wobei sich hier tatsächlich unterscheidet).
Kohomologie Die Kohomologiegruppen der oktonionischen projektiven Ebene mit einer abelschen Gruppe sind gegeben durch:
Faserbündel Ähnlich wie sich die Konstruktion der projektiven Räume von Vektorräumen über den anderen Divisionsalgebren nicht verallgemeinern lässt, verallgemeinern sich ebenfalls die entsprechenden Faserbündel nicht. Diese sind jeweils:
Reeller projektiver Raum: Komplexer projektiver Raum: und Quaternionischer projektiver Raum: und
Die analogen Verallgemeinerungen und für den oktonionischen projektiven Raum sind jeweils Faserbündel mit für beide (trivialerweise mit ) und mit für erstere (welche die oktonische Hopf-Faserung ist), aber nicht für für zweitere () oder mit für beide ( und ).
Literatur
Weblinks
Oktonionischer projektiver Raum auf nLab (englisch) Cayley-Ebene auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Projektive Geometrie Kategorie:Algebraische Topologie Kategorie:Mannigfaltigkeit