Eine Poisson-Algebra ist in der Mathematik eine kommutative, assoziative Algebra, welche mit einer Poisson-Klammer ausgestattet ist. Die Klammer ist eine Lie-Klammer, welche zusätzlich die Leibnizregel erfüllt, das heißt sie ist eine Derivation der assoziativen Multiplikation.
Poisson-Algebra Sei ein kommutativer Ring. Eine Poisson-Algebra ist eine kommutative, assoziative -Algebra mit einer -bilinearen und antisymmetrischen Abbildung , genannt Poisson-Klammer, so dass eine Lie-Algebra über ist, die Poisson-Klammer die Leibnizregel erfüllt . Die Striche in der leeren Poisson-Klammer stehen dabei für einen Platzhalter.
Erläuterungen Der -Modul ist mit zwei -bilinearen Abbildungen ausgestattet, der Multiplikation und der Poisson-Klammer .
Für die Multiplikation und gilt Kommutativität: Assoziativität:
Für die Poisson-Klammer und gilt Antisymmetrie: und Leibnizregel: Jacobi-Identität:
Für ein ist die Poisson-Klammer eine Derivation der Multiplikation, denn es gilt nach den Regeln
Poisson-*-Algebra Falls eine Poisson-Algebra über ist, die zusätzlich eine *-Algebra ist und für folgendes
erfüllt, so nennt man eine Poisson-*-Algebra.
Beispiele Sei eine Poisson-Mannigfaltigkeit mit der Poisson-Klammer auf dem Raum der glatten Funktionen , dann ist das Paar eine Poisson-Algebra.
Literatur
Weblinks Poisson-Algebra in der Encyclopedia of Mathematics
Einzelnachweise
Kategorie:Algebra (Struktur) Kategorie:Symplektische Geometrie