Die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung (auch Matrix-Langevin-Verteilung) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der multivariaten Statistik untersucht wird. Es handelt sich hierbei um die matrixvariate Von-Mises-Fisher-Verteilung auf der Stiefel-Mannigfaltigkeit. Sie findet Anwendung in der gerichteten Statistik.
Die Verteilung wurde 1972 von Thomas D. Down eingeführt und ist nach Richard von Mises und Ronald Fisher benannt.
Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung Sei die Stiefel-Mannigfaltigkeit, wir können die Mannigfaltigkeit als identifizieren, das Haar-Wahrscheinlichkeitsmaß auf , die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument, d. h. und symmetrisch, , dann ist die Matrix-Von-Mises-Fisher-Verteilung zum -Parameter definiert als
kann mit Hilfe von zonalen Polynome als Reihe dargestellt werden.
Normalisierungskonstante Die Integraldarstellung
wurde 1961 von Alan T. James bewiesen. Sei vom Rang und die Singulärwertzerlegung, dann gilt
mit .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist
Verallgemeinerung Down studierte die Verteilung auf der Stiefel-C-Mannigfaltigkeit , wobei eine positiv definite -Matrix ist.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Multivariate Statistik Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung