Satz von Schur (Zahlentheorie)

In der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Satz von Schur () eine Fragestellung, die anknüpft an diejenige des bertrandschen Postulats. Der Satz geht auf eine Publikation von Issai Schur (1875–1941) aus dem Jahre 1929 zurück, in der der Autor ihn als Hilfssatz zur Klärung von Irreduzibilitätsfragen bei Polynomen eines gewissen Typs heranzieht. Der schursche Satz schließt den Satz von Bertrand-Tschebyschow in sich ein.Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 369–374, S. 398–399Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140–173

Darstellung des Satzes Er besagt folgendes:Issai Schur: Gesammelte Abhandlungen. Band III. 1973, S. 140Harold N. Shapiro: Introduction to the Theory of Numbers. 1983, S. 370 Gegeben seien zwei natürliche Zahlen und mit .

Dann gilt: Unter den aufeinanderfolgenden Zahlen

gibt es stets mindestens eine, die einen Primteiler besitzt.

Bestätigung des bertrandschen Postulats Betrachtet man im Satz von Schur den Fall , so erschließt sich, dass stets eine natürliche Zahl mit existiert, welche durch eine Primzahl teilbar ist. Dies ist indes nur möglich, wenn gilt, was dann das bertrandsche Postulat bestätigt.

Ein schursches Irreduzibilitätkriterium Aus seinem Satz gewann Schur folgendes Kriterium:Siegfried Gottwald et al. (Hrsg.): Lexikon bedeutender Mathematiker. 1990, S. 421 Jedes Polynom der Form

mit und beliebigen ganzzahligen Koeffizienten ist über , dem Körper der rationalen Zahlen, irreduzibel.

Literatur

Einzelnachweise

Schur (Zahlentheorie), Satz von Schur (Zahlentheorie), Satz von