Die Crofton-FormelCrofton On the theory of local probability. Transactions of the Royal Society, Bd. 158, 1868, S. 181 (auch Cauchy-Crofton-Formel) ist in der Integralgeometrie eine Formel zur Berechnung der Bogenlänge einer Kurve und ist nach Morgan Crofton benannt.
Definition 400px|mini|Die durch definierte Gerade schneidet zweimal, d. h. . Die Crofton-Formel drückt die Bogenlänge einer ebenen Kurve durch ein Integral über die Zahl der Schnittpunkte mit einer Geraden aus; deren Abstand vom Ursprung sei (Länge des Lots vom Ursprung auf die Gerade) und der Winkel des Lots mit der x-Achse sei (siehe Hessesche Normalform der Geradengleichung). Dann ist ein kinematisch invariantes Maß (invariant unter Drehungen und Translationen der euklidischen Ebene). sei die Anzahl der Schnittpunkte der durch parametrisierten Geraden mit der Kurve. Croftons Formel für die Bogenlänge lautet dann:
Schätzung
Für eine Schätzung der der Bogenlänge kann eine Monte-Carlo-Simulation benutzt werden: Dabei seien die Zufallsvariablen gleichverteilt im Volumen . sei somit die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte der Gleichverteilung. Wegen gilt daher nach dem Gesetz der großen Zahlen
wobei die Zahl der gezogenen Stichproben aus dem Volumen sind.
Beispiel Gerade entlang der x-Achse 400px|mini|Für festes schneiden nur die Geraden im blauen Bereich die Strecke , d. h. es muss sein. Die Formel kann plausibel gemacht werden,Adam Weyhaupt, Cauchy-Crofton’s formula, Indiana University wenn man als Beispiel für eine Linie der Länge auf der x-Achse betrachtet, mit dem Mittelpunkt im Ursprung. Croftons Formel ergibt dann:
.
Das kann man mittels Approximation durch gerade Linien auf eine beliebige Kurve übertragen.
Einheitskreisline Ein weiteres einfaches Beispiel ist die Einheitskreislinie . Zu jedem schneidet die Gerade mit Abstand die Kreislinie genau für und zwar zweimal für . Daher ist , was, wie erwartet, der bekannte Kreisumfang ist.
Einzelnachweise
Kategorie:Geometrie