Ein elektrischer (elektromagnetischer) Schwingkreis, auch als Resonanzkreis bezeichnet, ist eine resonanzfähige elektrische Schaltung aus einer Spule (Bauteil L) und einem Kondensator (Bauteil C), die elektrische Schwingungen ausführen kann (vgl. Abb. 1). Der elektrische Schwingkreis wird oft mit dem harmonischen Oszillator der Mechanik wie dem Federpendel oder der Stimmgabel verglichen. Bei diesem LC-Schwingkreis wird Energie zwischen dem magnetischen Feld der Spule und dem elektrischen Feld des Kondensators periodisch ausgetauscht, wodurch abwechselnd hohe Stromstärke oder hohe Spannung vorliegen. Die Resonanzfrequenz (für Reihen- und idealen Parallelschwingkreis) berechnet sich zu:

wobei für die Induktivität der Spule und für die Kapazität des Kondensators stehen. Diese Gleichung heißt Thomsonsche Schwingungsgleichung.

Wird ein Schwingkreis durch einen Schaltvorgang oder einen Impuls einmalig angestoßen, dann führt er freie Schwingungen (Eigenschwingungen) aus, die in der Realität aufgrund von Verlusten nach einer gewissen Zeit abklingen. Wird er jedoch im Bereich seiner Resonanzfrequenz periodisch erregt, dann führt er erzwungene Schwingungen aus. Die dabei auftretenden Resonanzerscheinungen haben für die praktische Anwendung überragende Bedeutung.

Bei einem Schwingkreis mit äußerer Anregung unterscheidet man je nach Anordnung in Bezug zur Anregungsquelle zwischen Parallelschwingkreis (L parallel zu C) und Reihenschwingkreis (L in Reihe zu C). Unpräzise wird der Reihenschwingkreis manchmal auch als Serienschwingkreis bezeichnet.

Ähnliche Schaltungen aus Spule und Kondensator werden auch als LC-Glieder bezeichnet, sie befinden sich jedoch nicht zwingend in Resonanz (siehe Tiefpass, Hochpass). mini|hochkant|Abb. 1 Allgemeiner Schwing­kreis, Darstellung mit Schalt­zeichen gemäß EN 60617-4:1996

Physikalische Vorgänge in elektrischen Schwingkreisen Im Folgenden werden die in elektrischen Schwingkreisen periodisch ablaufenden physikalischen Vorgänge beschrieben. Die grundlegenden Abläufe bei ungedämpften freien und schwach gedämpften erzwungenen Schwingungen im stationären Zustand sind im Wesentlichen dieselben. Hauptmerkmal ist die Konstanz der Gesamtenergie im Schwingkreis, die zwischen Kondensator und Spule hin- und herpendelt (vgl. Abb. 5). Im schwach gedämpften freien Schwingkreis nimmt die Gesamtenergie des Systems hingegen beim Hin- und Herpendeln aufgrund von Verlusten an die Umgebung ab (vgl. Abb. 6). Die folgende Beschreibung beschränkt sich auf den ungedämpften freien Schwingkreis und beginnt mit einem willkürlich gewählten Anfangszustand (vgl. Abb. 2). mini|hochkant=1.3|Abb. 2 U: Spannung; I: Strom; W: Energie mini|hochkant=1.5|Abb. 3 Spannungsverlauf (blau gestrichelt) und Stromverlauf (rote Linie) im Schwingkreis

Zunächst sei die Spule ohne magnetischen Fluss. Der Kondensator sei geladen und in seinem elektrischen Feld die gesamte Energie des Schwingkreises gespeichert. Noch fließe kein Strom durch die Spule und die Kondensatorspannung sei maximal (Bild 1). Aufgrund der Kondensatorspannung setze nun ein Stromfluss ein, der nach der Lenz’schen Regel eine entgegengesetzt gleich große Spannung an der Spule induziert, die dessen Änderung entgegenwirkt. Damit steigen Stromstärke und magnetischer Fluss nur langsam (anfangs linear mit der Zeit) an. Mit ansteigendem Strom wird im Laufe der Zeit im Kondensator Ladung abgebaut, womit zugleich dessen Spannung absinkt. Mit der Verringerung der Spannung verringert sich das Anwachsen des Stromflusses. Wenn die Spannung auf null abgesunken ist, steigen Strom und magnetischer Fluss nicht mehr an, beide erreichen ihr Maximum. Zu diesem Zeitpunkt ist auch die magnetische Feldstärke der Spule am größten und der Kondensator vollständig entladen. Die gesamte Energie ist nun im Magnetfeld der Spule gespeichert. (Bild 2) Bei spannungsfreier Spule fließt der Strom stetig weiter, da er sich – genau wie der Magnetfluss – nicht abrupt ändern kann. Der Strom beginnt, den Kondensator in Gegenrichtung zu laden und baut in ihm eine Spannung ebenfalls in Gegenrichtung auf (anfangs linear mit der Zeit), die den Strom und somit auch den magnetischen Fluss verringert. Dies verursacht nach der Lenz’schen Regel eine entgegengesetzt gleich große Spannung an der Spule, die die Verringerung von Strom und magnetischen Fluss zu verhindern sucht. Wenn die Stromstärke auf null zurückgegangen ist, steigt der Betrag der Spannung nicht mehr an und erreicht somit sein Maximum. Der Kondensator erlangt seine ursprüngliche Ladung wieder, allerdings bei entgegengesetzter Polung. Die gesamte magnetische Feldenergie ist wieder in elektrische Feldenergie überführt worden. (Bild 3) Diese Vorgänge setzen sich in entgegengesetzter Richtung fort. (Bild 4, dann wieder Bild 1)

Der periodische Strom-Spannungs-Verlauf folgt der Sinus- bzw. Kosinusfunktion gemäß Abb. 3. Der Übergang von Bild 1 zu Bild 2 entspricht in den Funktionen dem Bereich x = 0 … π/2; der Übergang von Bild 2 zu Bild 3 verläuft wie im Bereich x = π/2 … π, von Bild 3 über Bild 4 zu Bild 1 wie in x = π … 2π.

Freie Schwingungen in elektrischen Schwingkreisen mini|220px|Abb. 4 Freier Reihenschwingkreis. Maschenregel liefert In erster Näherung kann man die in Schwingkreisen auftretenden Verluste durch einen ohmschen Widerstand R darstellen, der in Reihe mit der Induktivität L liegt. Ausgehend vom Maschensatz und dem Verhalten der drei Bauelemente (Bepfeilung wie in Abb. 4) kann ein solcher RLC-Reihenschwingkreis durch folgendes (lineares) Differentialgleichungssystem beschrieben werden:

Durch Eliminieren von uC erhält man eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für den Strom: bzw. wobei die „Abkürzungen“ für die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz und für den Dämpfungskoeffizienten benutzt wurden.

Die Differentialgleichung für die Kondensatorspannung hat die gleiche Form. Für die zur eindeutigen Lösung benötigten zwei Anfangsbedingungen nimmt man meist an, dass zum Zeitpunkt t=0 der Kondensator mit einer Spannung uC0 aufgeladen und der Strom durch die Induktivität 0 ist.

Im Folgenden werden die Lösungen für die verschiedenen Fälle angegeben. Deren Richtigkeit kann durch Einsetzen in die Differentialgleichungen und durch Kontrolle des Anfangszustandes überprüft werden.

Der ungedämpfte freie Schwingkreis Für den verlustfreien Schwingkreis ist bzw. , sodass das Dämpfungsglied in obiger Differentialgleichung entfällt. Die Lösungen sind ungedämpfte harmonische (um 90° phasenverschobene) Schwingungen (vgl. Abb. 3)

Der gedämpfte freie Reihenschwingkreis Bei verlustbehafteten Schwingkreisen ist bzw. , sodass das Dämpfungsglied in obiger Differentialgleichung nicht entfällt. Hier unterscheidet man drei Fälle. Schwingfall Bei geringen Verlusten im Schwingkreis, d. h. , lauten die Lösungen

Hierbei ist die gedämpfte Eigenkreisfrequenz und die Phasenverschiebung.

In diesem „Normalfall der Praxis“ sind Strom und Kondensatorspannung durch den Faktor schwach gedämpft und nicht genau gegeneinander 90° in der Phase verschoben; die gedämpfte Eigenkreisfrequenz ωd liegt unterhalb der ungedämpften Eigenkreisfrequenz ω0.

Kriechfall Bei großen Verlusten, d. h. , entsteht keine Schwingung mehr. Je größer die Dämpfung ist, umso langsamer kriechen Strom und Spannung gegen 0. Im sog. Kriechfall lauten die Lösungen

wobei die „Kriechkonstante“ ist und die „hyperbolische“ Phasenverschiebung.

Aperiodischer Grenzfall Auch im aperiodischen Grenzfall findet keine Schwingung mehr statt. Der Ruhezustand wird hier „ohne Überschwingen“ am schnellsten wiedererreicht. Hier lauten die Lösungen

Energiebilanz für den freien Schwingkreis mini|hochkant=1.5|Abb. 5 Energie-Zeit-Diagramm des freien Reihenschwingkreises ohne Dämpfung mini|hochkant=1.5|Abb. 6 Energie-Zeit-Diagramm des freien Reihenkreises bei schwacher Dämpfung Die Gesamtenergie des Systems besteht aus der Summe von elektrischer Feldenergie des Kondensators und magnetischer Feldenergie der Spule . Differentiation liefert

wobei in den letzten beiden Schritten beide Gleichungen des obigen Differentialgleichungssystems eingesetzt wurden.

Fall : Die Gleichung besagt, dass die Gesamtenergie im ungedämpften freien Schwingkreis konstant bleibt, d. h. , und verlustfrei zwischen Kondensator und Spule hin- und herpendelt (vgl. Abb. 5).

Fall : Die Gleichung besagt, dass die Energie im gedämpften freien Reihenschwingkreis abnimmt, weil beständig Stromwärme dissipiert wird. Die abklingende Energie ist in Abb. 6 beispielhaft für den Fall schwacher Dämpfung dargestellt.

Bei schwacher Dämpfung, d. h. falls , ist die ungedämpfte Schwingungsperiode im Vergleich zur Energierelaxationszeit klein, d. h. . Da dann auch , ist die zwischen Kondensator und Spule hin- und herpendelnde Gesamtenergie . Damit erhält man für die jeweils in der Folgeperiode dissipierte Energie ,

wobei die Näherung für benutzt wurde. Daraus lässt sich die Kreisgüte mithilfe ihrer Energiedefinition berechnen (siehe unten).

Erzwungene Schwingungen in elektrischen Schwingkreisen Für die Beschreibung erzwungener Schwingungen wird im Folgenden eine Erregung der Schwingkreise durch eine ideale Einspeisequelle angenommen (d. h. in diesem Fall sinusförmige Wechselspannung oder -strom), welche schon solange anliegt, dass die Eigenschwingungen durch den Einschaltvorgang aufgrund der Verlustdämpfung abgeklungen sind. Man spricht dann vom stationären oder eingeschwungenen Zustand. Die unten angegebenen Lösungen der Differentialgleichungen beschreiben entsprechend nur den eingeschwungenen Zustand der gedämpften Schwingkreise; für weitergehende Analysen werden dann komplexe Wechselstromrechnung und Zeigerdiagramme genutzt.

Erzwungene Schwingungen im Reihenkreis mini|220px|Abb. 7 RLC-Reihenschwingkreis. Maschenregel liefert: mini|220px|Abb. 8 Amplitudengang des Stroms für verschiedene Güten bei Spannungseinspeisung für , ,

Beim RLC-Reihenkreis liegen Induktivität , Kapazität und Verlustwiderstand in Reihe an den Klemmen einer idealen Einspeisequelle (s. o.), die dem Schwingkreis ihre Erregerfrequenz aufprägt. Mit dem Maschensatz ergibt sich folgende Gleichung (Bepfeilung wie in Abb. 7)

wobei und . Einsetzen und Differenzieren nach der Zeit ergibt

bzw.

mit den Abkürzungen für die Resonanzfrequenz des Reihenschwingkreises und für den Dämpfungskoeffizienten. Dies ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung und lässt sich besonders leicht mit einem komplexen Ansatz lösen. Natürlich muss jede physikalische Lösung reell sein. Aufgrund der Linearität der Gleichung müssen Real- und Imaginärteil einer Lösung jeder für sich die Gleichung lösen und jede reelle Linearkombination reeller Lösungen eine physikalische Lösung ergeben.

Einsetzen des komplexen Ansatzes (imaginäre Einheit hier: )

,

in die Differentialgleichung, Division durch sowie anschließendes Sortieren nach Real- und Imaginärteil liefert die Gesamtimpedanz bzw. den Scheinwiderstand

   bzw.   

Die Phasenverschiebung erhält man aus

Das reellwertige Paar bestehend aus Klemmenspannung und Klemmenstrom löst obige Differentialgleichung. Hervorzuheben ist hierbei die Abhängigkeit der Phasenverschiebung sowie des Scheinwiderstandes von der Erregerfrequenz . Diese Abhängigkeit lässt sich durch Ortskurven für die Impedanz veranschaulichen (vgl. unten). Die Amplituden von Klemmenspannung und -strom hängen gemäß über zusammen; bei Spannungseinspeisung wird const., bei Stromeinspeisung const. angenommen.

Die Frequenz, bei welcher der Scheinwiderstand minimal wird, heißt Resonanzfrequenz des Reihenkreises und stimmt mit der oben so bezeichneten Abkürzung überein, was ihre Bezeichnung rechtfertigt. Die Resonanzbedingung ist ausdrückbar durch

Im Resonanzfall wird dann aufgrund von bei Spannungseinspeisung die Stromamplitude maximal (vgl. Abb.  8) und umgekehrt bei Stromeinspeisung die Spannungsamplitude minimal.