Quadratische Formen von Zufallsvariablen

Eine quadratische Form von reellen Zufallsvariablen , die eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung besitzen, ist eine Zufallsvariable, die sich additiv aus Summanden der Form mit reellen Konstanten für zusammensetzt. Notation Vektoren werden standardmäßig als Spaltenvektoren aufgefasst. Der hochgestellte Index kennzeichnet die Transponierung eines Vektors oder einer Matrix. bezeichnet die Menge der reellwertigen Matrizen mit Zeilen und Spalten. sei die Einheitsmatrix der Ordnung . Für eine quadratische Matrix bezeichnet die Spur der Matrix , das ist die Summe der Diagonaleinträge.

Definition sei ein Zufallsvektor mit Werten in . sei eine quadratische Matrix mit Elementen für . Dann heißt

quadratische Form der reellen Zufallsvariablen .

Eigenschaften ist eine reelle Zufallsvariable. Falls eine positiv semidefinite Matrix ist, gilt . Es gilt . Daher gilt auch für die symmetrische Matrix . Für viele Eigenschaften quadratischer Formen von Zufallsvariablen stellt daher die Beschränkung auf symmetrische Matrizen keine Einschränkung dar. Es gilt

Erwartungswert einer quadratischen Form Satz: sei ein -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor und der Kovarianzmatrix . Für jede Matrix gilt

Diese Aussage gilt unabhängig davon, ob symmetrisch ist und ob invertierbar ist. Unmittelbar aus diesem Satz ergeben sich die folgenden Spezialfälle: Der zentrierte Zufallsvektor hat den Erwartungswertvektor und dieselbe Kovarianzmatrix wie der Zufallsvektor , so dass sich

ergibt. Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich, wenn die Kovarianzmatrix invertierbar ist. Dann gilt , denn . Für einen Vektor hat der Zufallsvektor den Erwartungswertvektor und dieselbe Kovarianzmatrix wie der Zufallsvektor , so dass sich

ergibt.

Wahrscheinlichkeitsungleichungen für quadratische Formen Satz: sei ein -dimensionaler Zufallsvektor mit dem Erwartungswertvektor und der Kovarianzmatrix . Es sei und die quadratischen reellen Matrizen für seien positiv semidefinit. Mit positiven Konstanten für seien die Ereignisse

definiert. Dann gilt

mit

Ein wichtiger Spezialfall ergibt sich für , , und . Dann gelten die Ungleichungen

und

Die letzte Ungleichung wurde bereits 1962 von Samuel Stanley Wilks angegeben und ist eine multivariate Verallgemeinerung der Tschebyscheffschen Ungleichung, die für eine reelle Zufallsvariable mit dem Erwartungswert und der Varianz in der Form

geschrieben werden kann.

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Stochastik Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung Kategorie:Ungleichung (Stochastik)