In der algebraischen Geometrie, insbesondere der Theorie der Schemata, ist ein separierter Morphismus ein Morphismus von Schemata, sodass der Diagonalmorphismus eine abgeschlossene Immersion ist. Separierte Morphismen sind das Analogon von Hausdorffräumen in der Theorie der Schemata über einem gegebenen Basisschema.
Formale Definition
Ein Morphismus von Schemata heißt separiert, falls der Diagonalmorphismus eine abgeschlossene Immersion ist. Hier ist der Diagonalmorphismus der durch die universelle Eigenschaft des Faserproduktes induzierte Morphismus, wenn man diese auf das Paar anwendet.01KK
Der Diagonalmorphismus ist immer eine Immersion.01KJ Es ist also äquivalent zu fordern, dass die Diagonale abgeschlossenes Bild hat.01IQ
Eigenschaften
Die Komposition zweier separierter Morphismen von Schemata ist separiert.01KU Ist ein separierter Morphismus von Schemata und ein beliebiger Morphismus, so ist der Basiswechsel separiert.01KU Ist ein separierter Morphismus von Schemata und sind affine offene Unterschemata, sodass in einer affinen offenen Teilmenge von liegt, so ist affin.01KP Ist ein separierter Morphismus von Schemata, sodass separiert über ist, und sind affine offene Unterschemata, so ist affin.01KW Jeder affine Morphismus ist separiert.01S7 Jede Immersion ist separiert.01L7
Beispiele
Ist ein beliebiger Ringhomomorphismus, so ist der induzierte Homomorphismus affiner Schemata separiert.01KI Der projektive Raum über einem beliebigen Basisschema ist separiert. Insbesondere ist jedes abgeschlossene Unterschema eines projektiven Raums separiert. Verklebt man die affine Gerade mit sich selbst an der offenen Teilmenge , so erhält man ein Schema, welches nicht separiert über ist.
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Geometrie