Die Chi-Verteilung bzw. -Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung über der Menge der nichtnegativen reellen Zahlen. Die Chi-Verteilung hat einen Parameter, die Anzahl der Freiheitsgrade . Sie hängt eng mit der Chi-Quadrat-Verteilung zusammen.
Definition Eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion
heißt Chi-verteilt mit Freiheitsgraden für jeden positiven Parameter . Dabei bezeichnet die Gammafunktion. Die Verteilung der Zufallsvariablen heißt Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden.
Häufig wird die Chi-Verteilung nur für einen ganzzahligen Parameter definiert.
Eigenschaften Wenn Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-verteilt mit Freiheitsgraden. Wenn Chi-verteilt mit Freiheitsgraden ist, dann ist Chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. sei Chi-verteilt mit Freiheitsgraden, dann gilt , der Erwartungswert ist
und die Varianz ist
Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist Chi-verteilt mit einem Freiheitsgrad.
Beispiele Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgrad ist ein Spezialfall der Halbnormalverteilung (half-normal distribution). Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Rayleigh-Verteilung. Die Chi-Verteilung mit Freiheitsgraden ist ein Spezialfall der Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Wenn standardnormalverteilt ist, dann ist die auf gestutzte Verteilung eine Chi-Verteilung mit einem Freiheitsgrad.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung