Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.
Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.
HWI-Ungleichung Vorbereitung Sei ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra , der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf . der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf mit endlichem -ten Moment. definieren wir analog für den Produktraum , das Lebesgue-Maß, der Raum der -mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form , die -dimensionale Identitätsmatrix.
Seien , dann nennen wir ein eine Kopplung von , falls und seine Marginalen sind, das heißt und . Mit notieren wir den Raum aller Kopplungen von .
Wir nehmen nun an, dass absolut stetig bezüglich ist. Dann definieren wir weiter die relative Entropie , die Wasserstein-Distanz , die relative Fisher-Information .
HWI-Ungleichung auf ℝn Sei nun und . Nimm an, dass von der Form
und absolut stetig bezüglich ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix
für ein gelten.
Dann gilt die HWI-Ungleichung
Falls konvex ist, dann gilt
Eigenschaften Falls , dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante auf , notiert mit respektive für Maße der Form
HWI-Ungleichung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Transportproblem Kategorie:Ungleichung (Stochastik) Kategorie:Maßtheorie