Gitterförmige Verteilungen sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen reellwertiger diskreter Zufallsvariablen, bei denen die Stellen, die mit positiver Wahrscheinlichkeit angenommen werden, eine spezielle Struktur haben, die an ein Gitter erinnert.
Definition Eine reellwertige diskrete Zufallsvariable , für die es eine Menge
mit und gibt, so dass
gilt, heißt gitterförmig verteilt. Für eine gitterförmig verteilte Zufallsvariable gibt es ein größtes , das Gitterkonstante heißt.
Beispiele In den folgenden drei Fällen ist gitterförmig verteilt mit und Gitterkonstante . sei eine Bernoulli-Variable mit dem Parameter . Für gilt und für alle . sei eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern und . Für gilt und für alle . sei eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Parameter . Für gilt und für alle . Für die Zufallsvariable mit ist und die Gitterkonstante ist .
Eigenschaften Eine reellwertige Zufallsvariable ist genau dann gitterförmig verteilt, wenn der Betrag ihrer charakteristischen Funktion an einer Stelle den Wert Eins hat. Eine gitterförmige Verteilung hat genau dann die Gitterkonstante , wenn
und
gilt.
Anwendung Gitterförmige Verteilungen spielen eine besondere Rolle in der Theorie lokaler Grenzwertsätze.
Es sei eine Folge stochastisch unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit und Gitterkonstante 1, mit dem Erwartungswert und mit der endlichen und positiven Varianz . Dann hat die Zufallsvariable den Erwartungswert und die Varianz . Es gilt dann der lokale Grenzwertsatz von Gnedenko
Dabei bezeichnet die Dichtefunktion einer Normalverteilung . Die Konvergenz gilt gleichmäßig bezüglich .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Verteilungsklasse Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung