Der Krasnoselski-Genus ist ein Begriff aus der nicht-linearen Analysis und verallgemeinert den Dimensionsbegriff eines Vektorraumes. Der Krasnoselski-Genus eines linearen Raumes ist die kleinste natürliche Zahl , für die es eine stetige ungerade Funktion der Form gibt. Der Krasnoselski-Genus wurde von Mark Krasnoselski eingeführt und 1969 erschien von Charles Coffman eine äquivalente Definition. Krasnoselski-Genus Wir verwendenden die Definition von Coffman.
Sei ein Banachraum, der Raum der symmetrischen abgeschlossenen Teilmengen, der Raum der stetigen Funktionen der Form .
Für ein definiere die Menge
dann ist der Krasnoselski-Genus von
In anderen Worten ausgedrückt, falls , dann existiert eine stetige ungerade Funktion so dass . Des Weiteren ist die kleinstmögliche Dimension, das heißt es existiert keine solche Funktion mit .
Eigenschaften Sei eine beschränkte symmetrische Umgebung von in , dann gilt für den Rand .
Seien , dann gilt falls ein ungerades existiert, gilt , falls , dann gilt , falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen und existiert, dann gilt
Kombiniert man die beiden Aussagen, dann folgt sofort, falls ein ungerader Homöomorphismus zwischen und existiert, dann gilt .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Variationsrechnung Kategorie:Theorie partieller Differentialgleichungen