Bei der Mathematik des Glücksspiels handelt es sich um eine Sammlung von Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, die bei Glücksspielen auftreten und in die Spieltheorie integriert werden können. Mathematisch gesehen sind Spiele Experimente, in denen verschiedene Zufallsereignisse erzeugt werden, die durch die Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit in einem endlichen Möglichkeitsraum berechnet werden können.
Experimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeitsräume Experimente, die zufällige Ereignisse erzeugen, sind die technischen Abläufe eines Spiels. Hier einige Beispiele:
Ereignisse können definiert werden, müssen aber sehr sorgfältig behandelt werden, wenn es darum geht, ein Wahrscheinlichkeitsproblem zu formulieren. Aus mathematischer Sicht handelt es sich bei den Ereignissen um nichts anderes als Teilmengen, und bei dem Ereignisraum handelt es sich um eine Boolesche Algebra. Es existieren Elementarereignisse und Kompositereignisse, exklusive und nicht-exklusive Ereignisse sowie unabhängige und nicht-unabhängige Ereignisse.
Beim Experiment mit einem Würfel wird folgendes geworfen:
Da {3, 5} = {3} U {5} ist das Ereignis {3, 5} (dessen wörtliche Definition das Auftreten von 3 oder 5 ist) zusammengesetzt; Die Ereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} sind Elementarereignisse; Die Ereignisse {3, 5} und {4} sind inkompatibel oder exklusiv. Ihre Schnittmenge ist leer, d. h. sie können nicht gleichzeitig auftreten; Die Ereignisse {1, 2, 5} und {2, 5} sind nicht exklusiv, da ihre Schnittmenge nicht leer ist;
Beim Experiment, bei dem zwei Würfel nacheinander geworfen werden, sind die Ereignisse „3“ beim ersten und „5“ beim zweiten Würfel voneinander unabhängig, da das erste Ereignis das zweite Ereignis nicht beeinflusst und umgekehrt.
Bei dem Versuch, die Taschenkarten beim Texas Hold’em Poker zu verteilen:
Das Ereignis der Abgabe (3♣, 3♦) an einen Spieler ist ein elementares Ereignis; Das Ereignis, dass ein Spieler zwei 3er erhält, ist zusammengesetzt, weil es die Vereinigung der Ereignisse (3♣, 3♠), (3♣, 3♥), (3♣, 3♦), (3♠, 3♥), (3♠, 3♦) und (3♥, 3♦) ist; Die Ereignisse „Spieler 1 erhält ein Paar Könige“ und „Spieler 2 erhält ein Paar Könige“ schließen sich nicht aus (sie können beide auftreten); Die Ereignisse, dass Spieler 1 zwei Herzstecker erhält, die höher als J sind, und dass Spieler 2 zwei Herzstecker erhält, die höher als J sind, sind exklusiv (nur eines kann eintreten); Die Ereignisse, die Spieler 1 erhält (7, K) und Spieler 2 erhält (4, Q), sind nicht unabhängig voneinander (das Eintreten des zweiten Ereignisses hängt vom Eintreten des ersten Ereignisses ab, während dasselbe Deck verwendet wird).
Dies sind einige Beispiele für Spielereignisse, die leicht zu beobachten sind und die Eigenschaften „verbunden“, „exklusiv“ und „unabhängig“ aufweisen. Für die praktische Wahrscheinlichkeitsrechnung sind diese Eigenschaften von grundlegender Bedeutung.
Kombinationen Gute Beispiele für Kombinationen, Permutationen und Anordnungen, die auf jeder Stufe auftreten, sind auch Glücksspiele: Karten in der Hand des Spielers, auf dem Tisch oder erwartete Kombinationen bei einem Kartenspiel; Zahlenkombinationen beim einmaligen Würfeln mit mehreren Würfeln; Zahlenkombinationen beim Lotto und Bingo; Symbolkombinationen bei Spielautomaten; Permutationen und Anordnungen bei einem Rennen, auf das gewettet wird, und Ähnliches. Bei der Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Glücksspiele ist die Kombinatorik ein integraler Bestandteil. Beim Glücksspiel beruht der Großteil der Wahrscheinlichkeitsrechnung, bei der wir die klassische Wahrscheinlichkeitsdefinition verwenden, auf dem Zählen von Kombinationen. Die Ereignisse in einem Spiel können mit Mengen identifiziert werden, bei denen es sich in vielen Fällen um Mengen von Kombinationen handelt. Wir sind also in der Lage, ein Ereignis mit einer Kombination zu identifizieren.
Zum Beispiel kann in einem Pokerspiel mit fünf Karten das Ereignis, dass mindestens ein Spieler einen Vierling hält, mit der Menge aller Kombinationen des Typs (xxxxy) identifiziert werden, wobei x und y verschiedene Kartenwerte sind. Dieser Satz enthält 13C(4,4)(52-4)=624 Kombinationen. Mögliche Kombinationen sind (3♠ 3♣ 3♥ 3♦ J♣) oder (7♠ 7♣ 7♥ 7♦ 2♣). Diese lassen sich mit den Elementarereignissen, die das Messereignis konstituieren, identifizieren.
Mathematische Grundlagen
Gesetz der großen Zahlen Bei sehr häufigem Auftreten von Zufallsereignissen heben sich die Zufälle gegenseitig auf, so dass das arithmetische Mittel der Ergebnisse dieser Ereignisse sehr nahe an seinem mathematischen Wert im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung liegt. Beispielsweise ist es beim Werfen einer Münze zufällig, welche Seite der Münze nach oben fällt. Wenn dies jedoch oft genug geschieht, ist die Anzahl der Fälle, in denen die Münze auf beiden Seiten nach oben fällt, etwa halb so groß. Dies ist als Gesetz der großen Zahlen bekannt.
Gewinn und Verlust beim Spielen sind auch für eine einzelne Person und kurzfristig zufällig, aber langfristig wird der Spieler, solange er eine negative Gewinnquote hat, früher oder später im Verlauf des Spiels verlieren. Solange die Gewinnquote des Spiels positiv ist, ist das Spiel sowohl für das Casino als auch für den Spieler ein sicherer Gewinn.
Das Prinzip der positiven Rendite Rentabilität, die durch die Spielregeln und die Strategie bestimmt wird, ist der Schlüssel zur Entscheidung über Sieg oder Niederlage. Die Gewinnquote spiegelt die Realität und die Natur des Glücksspiels wider. Bei der Gestaltung der Spielregeln wird in der Regel versucht, die Gewinnquote des Casinos auf etwas über 50 % zu erhöhen, was zu einer positiven Rendite von etwas über Null führt. Beim Glücksspiel geht es nicht um Glück, sondern um Intelligenz, Strategie und Rendite. Der letztendliche Gewinn aus einem langfristigen Glücksspiel hängt von der Rendite ab, die der Spieler erzielt: Wenn die Rendite positiv ist, ist die erwartete Rendite größer als Null und man kann gewinnen; wenn die Rendite negativ ist, ist die erwartete Rendite kleiner als Null und man kann nicht gewinnen. Wenn die Rendite negativ ist, „verliert man, wenn man lange spielt“, die Rolle des Gesetzes der großen Zahlen wird immer deutlicher. Professionelle Spieler, die dem Prinzip der positiven Rendite folgen, spielen nicht lange und verlieren, sondern setzen auf sichere Gewinne. Sie sind Nicht-Spieler.
Verzerrung durch das Gesetz der kleinen Zahlen Das Gesetz der großen Zahl sagt aus, dass die Wahrscheinlichkeit eines Musters, das sich der Gesamtwahrscheinlichkeit annähert, sich auch der Gesamtwahrscheinlichkeit annähert, und dass die Wahrscheinlichkeit eines Musters, das sich der Gesamtwahrscheinlichkeit annähert, sich auch der Gesamtwahrscheinlichkeit annähert. Das „Gesetz der kleinen Zahlen“ bezieht sich auf die Tatsache, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines Ereignisses in einer kleinen Stichprobe für die Gesamtverteilung gehalten wird. Dadurch wird die Repräsentativität der kleinen Stichprobe für die Gesamtpopulation überschätzt. Eine andere Situation ist der so genannte „Spielertrick“. Wenn man z. B. eine Münze wirft und zehnmal hintereinander Kopf geworfen wird, könnte man denken, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass beim nächsten Mal Zahl geworfen wird; in Wirklichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kopf oder Zahl geworfen wird, jedes Mal 0,5 und hat nichts damit zu tun, wie oft Kopf geworfen wurde.
Die Ignoranz gegenüber der Wirkung des Stichprobenumfangs, die Annahme, dass kleine und große Stichproben den gleichen Erwartungswert haben, und die Ersetzung des richtigen Gesetzes der Wahrscheinlichkeit großer Zahlen durch ein falsches psychologisches Gesetz kleiner Zahlen ist die Ursache für die rasante Zunahme des Glücksspiels. Die Casinos glauben an das Gesetz der großen Zahlen. Die Spielerinnen und Spieler wenden unbewusst das Gesetz der kleinen Zahlen an. Die Logik der Existenz der Casinos besteht darin, dass das Gesetz der großen Zahlen den Casinos ermöglicht, Geld zu verdienen, und das Gesetz der kleinen Zahlen den Spielern ermöglicht, den Casinos Geld zu geben.
Casino-Vorteil Der Vorteil des Casinos ist der Vorteil, den das Casino gegenüber den Spielern hat, und zwar bei jeder Art von Glücksspiel, das im Casino gespielt wird.
Nehmen wir als Beispiel den Münzwurf. Die Chancen, dass die Münze Kopf oder Zahl zeigt, sind gleich, jeweils 50 %. Setzt ein Spieler 10 $ darauf, dass die Münze auf Kopf fällt und gewinnt, zahlt ihm das Casino 10 $ aus. Wenn er verliert, gehen die gesamten 10 $ an das Casino verloren, und in diesem Fall ist der Gewinn des Casinos gleich Null (das Casino ist sicherlich nicht dumm genug, um dieses Spiel zu eröffnen); wenn er jedoch gewinnt, zahlt ihm das Casino nur 9 $ aus, und wenn er verliert, gehen die gesamten 10 $ an das Casino verloren. Die Differenz zwischen diesem einen Dollar, den der Spieler gewinnt oder verliert, ist der Casinovorteil und beträgt im obigen Fall 10%.
Bei jeder Art von Spiel, die in einem Casino gespielt wird, hat das Casino einen gewissen Vorteil gegenüber den Spielern, und nur auf diese Weise kann das Casino sicherstellen, dass es auf lange Sicht geöffnet bleibt. Der Vorteil des Casinos variiert stark von Spiel zu Spiel, wobei einige Spiele einen geringen Vorteil für das Casino haben und andere einen hohen Vorteil. Personen, die viel spielen, versuchen, Spiele mit einem hohen Vorteil zu vermeiden.
Erwartung und Strategie Glücksspiele sind nicht nur reine Anwendungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung, und Spielsituationen sind nicht nur isolierte Ereignisse, deren numerische Wahrscheinlichkeit mit mathematischen Methoden gut bestimmt werden kann; sie sind auch Spiele, deren Verlauf durch menschliches Handeln beeinflusst wird. In der Tat ist das menschliche Element bei Glücksspielen von besonderer Bedeutung. Der Spieler interessiert sich nicht nur für die mathematischen Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Ereignisse im Spiel, sondern er hat auch Erwartungen an das Spiel, und es besteht eine wichtige Wechselwirkung zwischen ihm und dem Spiel. Zur Erzielung günstiger Ergebnisse aus dieser Interaktion ziehen die Spieler alle möglichen Informationen, einschließlich Statistik, zur Entwicklung von Spielstrategien in Betracht.
Obwohl der dem Glücksspiel innewohnende Zufall seine Fairness zu garantieren scheint (zumindest in Bezug auf die Spieler am Tisch – durch das Mischen der Karten oder das Drehen des Rades wird kein Spieler bevorzugt, es sei denn, es handelt sich um Betrug), suchen und warten die Spieler auf Unregelmäßigkeiten in diesem Zufall, die ihnen einen Gewinn ermöglichen. Es ist mathematisch bewiesen, dass es für Glücksspieler nicht möglich ist, langfristig und regelmäßig Gewinne zu erzielen, wenn der Zufall ideal ist und die Erwartungen negativ sind. Die meisten Glücksspieler akzeptieren diese Prämisse, sind aber dennoch bestrebt, Strategien zu entwickeln, mit denen sie entweder kurz- oder langfristig gewinnen können.
Hausvorteil oder Vorteil Casinospiele bieten auf lange Sicht einen vorhersehbaren Vorteil für das Casino oder das „Haus“, während sie für den Spieler die Möglichkeit bieten, auf kurze Sicht einen hohen Gewinn zu erzielen. Einige Casinospiele enthalten ein Element der Geschicklichkeit, bei dem der Spieler Entscheidungen treffen muss; solche Spiele werden als „Spiele mit zufälligem Ausgang und einem taktischen Element“ bezeichnet. Obwohl es möglich ist, den Hausvorteil durch geschicktes Spiel zu minimieren, ist ein Spieler selten geschickt genug, den inhärenten langfristigen Nachteil (Hausvorteil oder Hauswährung) eines Casinospiels zu beseitigen. Es wird angenommen, dass eine solche Fähigkeit jahrelanges Training, ein außergewöhnliches Gedächtnis und Zahlenverständnis und/oder eine scharfe visuelle oder sogar akustische Beobachtungsgabe erfordert, wie z. B. die Beobachtung des Rades beim Roulette. Für weitere Beispiele siehe Vorteilsspiel.