Lévys stochastische Fläche ist in der Stochastik ein stochastischer Prozess, welcher die umschlossene Fläche einer zwei-dimensionalen brownschen Bewegung mit ihrer Sehne beschreibt. Der Prozess wurde 1940 von Paul Lévy eingeführt und 1950 fand er eine Formel für die charakteristische Funktion und bedingte charakteristische Funktion.
Der Prozess hat viele unerwartete Verbindungen zu anderen Objekten in der Mathematik, darunter zu den Soliton-Lösungen der Korteweg-de-Vries-GleichungN. Ikeda, S. Taniguchi, The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons, Stoch. Proc. Appl. 120 (2010) 605–621. und zur riemannschen Zeta-Funktion. Im Malliavin-Kalkül kann der Prozess verwendet werden, um einen Malliavin-glatten Prozess zu konstruieren, der jedoch keine stetige Modifikation bezüglich der Banach-Norm besitzt.
Lévys stochastische Fläche Sei eine zwei-dimensionale brownsche Bewegung in , dann ist Lévys stochastische Fläche der Prozess
wobei hier das Itō-Integral verwendet wird.
Definiere die 1-Form , dann ist das stochastische Integral von entlang der Kurve
Flächenformel für die stochastische Fläche Sei , , und . Lévy berechnete folgende charakteristische Funktionen
und
wobei die euklidische Norm ist.
Weiterführendes 1980 lieferte Yor einen kurzen probabilistischen Beweis.Yor, M. (1980). Remarques sur une formule de paul levy. In: Azéma, J., Yor, M. (eds) Séminaire de Probabilités XIV 1978/79. Lecture Notes in Mathematics, vol 784. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0089501 1983 lieferten Helmes und Schwane eine höher-dimensionale Formel.
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastischer Prozess Kategorie:Paul Lévy