In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition Für eine abelsche Gruppe und eine natürliche Zahl ist ein CW-Komplex , der für zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen

erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird daher mit bezeichnet.Allen Hatcher: Algebraic Topology., Chapter 4, Example 4.34 Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.

Lemmata

Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt.Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 2.2., Exercise 32 Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum . Das unendliche symmetrische Produkt eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der -ten Homotopiegruppe genau die -te (integrale) Homologiegruppe ist (Satz von Dold-Thom).Allen Hatcher: Algebraic Topology., Section 4.K., Exercise 4K.6 Für eine Gruppe und ist der Eilenberg–MacLane-Raum . Für eine Gruppe und ist der Moore-Raum aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar -zusammenhängend mit .

Beispiele

Die -Sphäre ist der Moore-Raum für . Die reelle projektive Ebene ist der Moore-Raum . Ihre -fache Einhängung ist daher der Moore-Raum .

Siehe auch

Homologiesphäre, ein spezieller Moore-Raum. Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie. Peterson-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Kohomologie.

Literatur

Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.

Einzelnachweise

Kategorie:Algebraische Topologie Kategorie:Homologische Algebra