Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Stochastik und insbesondere im Malliavin-Kalkül ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem Hilbert-Raum zentrierter, reeller gaußscher Zufallsvariablen, welcher gaußscher Hilbert-Raum (oder gaußscher Raum) genannt wird. Wichtige Beispiele gaußscher Wahrscheinlichkeitsräume sind die abstrakten Wiener-Räume.
Die Terminologie ist in der Literatur nicht immer einheitlich, generell versteht man unter dem Begriff gaußscher Raum einen abgeschlossenen Unterraum des L2-Raumes, dessen Elemente zentrierte Gauß-Variablen sind. Manche Autoren bezeichnen aber auch allgemein Räume mit einem gaußschen Maß als gaußsche Räume. Wir folgen der Monographie () von Paul Malliavin.
Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum besteht aus einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum , einem abgeschlossenen Unterraum , so dass alle zentrierte Gauß-Variablen sind, d. h. es gilt . Die σ-Algebra der Elemente in notieren wir mit . einer σ-Algebra der transversalen Zufallvariablen, welche durch die Beziehung
definiert wird.
Irreduzibilität Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum heißt irreduzibel, wenn gilt. Irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume werden mit notiert. Der Begriff der nicht-irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsräume wird aus zwei Gründen definiert: Um auf Unterräumen arbeiten zu können. Um den Wahrscheinlichkeitsraum erweitern zu können.
Ansonsten wählt man in der Regel einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.
Unterräume Ein Unterraum eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraumes besteht aus einem abgeschlossenen Unterraum von , einer Teil-σ-Algebra der transversalen Zufallvariablen, so dass und unabhängig sind und eine neue Produkt-σ-Algebra bilden. Des Weiteren soll gelten .
Beispiel:
Sei gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit abgeschlossenem . Sei nun das orthogonale Komplement von in . Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit zwischen und , also ist unabhängig von . Definiere nun durch .
Bemerkung Bemerke, für gilt .
Fundamentalalgebra Zu einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum definieren wir die Algebra der zylindrischen Zufallsvariablen der Form
wobei ein Polynom in Variablen ist und nennen die Fundamentalalgebra. Es gilt für .
Für einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum gilt, dass eine dichte Menge in für alle ist.
Numerisches Modell und Segal-Modell Ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit einer gewählten Basis für nennt man numerisches Modell. Zwei numerische Modelle sind isomorph, wenn ihre gaußschen Räume die gleiche Dimension haben.
Gegeben ist ein separabler Hilbert-Raum , dann existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum namens Segal-Modell mit als gaußscher Raum. In diesem Fall notiert man die zu assoziierte gaußsche Zufallsvariable als und schreibt entsprechend den gaußschen Raum als , das heißt . Diese Notation ist analog zu dem isonormalen Gauß-Prozess.
Beispiele Sei der klassische Wiener-Raum, die σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen (oder äquivalent die borelsche σ-Algebra von ) und das Wiener-Maß. Weiter sei und die Familie der Wiener-Integrale definiert durch
Dann ist ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum. Sei ein abstrakter Wiener-Raum, d. h. ist ein separabler Banach-Raum und separabler Hilbert-Raum, der stetig und dicht in eingebettet ist, ein zentriertes gaußsches Maß und . Dann ist ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastik