In der Testtheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik, ist die Kolmogorow-Verteilung eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die als Grenzverteilung einer Teststatistik des Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests für einen über alle Grenzen wachsenden Stichprobenumfang auftritt.
Definition Eine stetige Zufallsvariable heißt Kolmogorow-verteilt, falls sie die Verteilungsfunktion
hat.Die leicht abweichende Darstellung
findet sich im In dieser Form wurde die Verteilungsfunktion auch durch Kolmogorow in der Originalarbeit angegeben: Diese ist äquivalent zur oben angegebenen Form.Eine - vermutlich fehlerhafte – Darstellung der Verteilungsfunktion mit anstelle von findet sich in den beiden folgenden Quellen:
Andererseits findet sich die in der Definition angegebene Form der Verteilungsfunktion mit dem Faktor 2 im Exponenten auch in diesen Quellen:
Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung heißt Kolmogorow-Verteilung.
Eigenschaften 400px|mini|Kolmogorow-Verteilungsfunktion (rot) und (blau) Eine alternative Summendarstellung der Verteilungsfunktion ist
Diese alternative Darstellung ist für numerische Berechnungen in bestimmten Fällen günstiger.
Für eine Kolmogorow-verteilte Zufallsvariable gilt
Die Zufallsvariable hat den Erwartungswert
und die Varianz
Anwendung Die Kolmogorow-Verteilung wird als approximative Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teststatistik für die Durchführung eines approximativen Kolmogorow-Smirnow-Anpassungstests verwendet, falls der Stichprobenumfang hinreichend groß ist, um die asymptotische Verteilung der Teststatistik – nämlich die Kolmogorow-Verteilung – zu verwenden. Die -Quantile der Kolmogorow-Verteilung für sind näherungsweise .Z. B.
Eine Approximation der Verteilungsfunktion ergibt sich, wenn nur der erste Summand für verwendet wird,
Das -Quantil der Kolmogorow-Verteilung ergibt sich dann näherungsweise als Lösung der Gleichung . Dies führt zur Näherungsformel , die zu Werten führt, die bis zur dritten Nachkommastelle mit den oben angegebenen Tabellenwerten übereinstimmen. Manchmal wird diese Formel angegeben, ohne klarzustellen, dass es sich um eine doppelte Approximation handelt. Die asymptotische Verteilung wird für endlichen Stichprobenumfang verwendet und dabei wird nur die Approximation der Kolomogorow-Verteilung verwendet. Wie der Vergleich der Funktionen und in der Abbildung zeigt, ist die Approximation zur Quantilbestimmung nur für hinreichend kleine Werte von , z. B. für , anwendbar. Insbesondere ist die Approximation keine Verteilungsfunktion.
Theoretischer Hintergrund Die reellwertigen Zufallsvariablen seien stochastisch unabhängig und identisch verteilt mit der stetigen Verteilungsfunktion . Dann hängt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Stichprobenfunktion
wobei
die zufällige empirische Verteilungsfunktion bezeichnet, nicht von ab. ist also bezüglich der Klasse aller stetigen Verteilungsfunktionen eine verteilungsfreie Statistik. Außerdem konvergiert die Folge in Verteilung gegen die Kolmogorow-Verteilung, es gilt daher . ist die Teststatistik des Kolmogorov-Smirnov-Anpassungstest für den Stichprobenumfang . Sie heißt auch Kolmogorow-Smirnow-Statistik. Es gibt Tabellen für Quantile der Verteilung von .Z. B.
Für große Stichprobenumfänge können die Quantile der Kolmogorow-Verteilung verwendet werden. Es gibt eine Tabelle für Werte der Verteilungsfunktion der Kolomogorov-Verteilung. Diese Tabelle wurde zuerst abgedruckt in Die Tabelle ist wiederabgedruckt auf S. 143 in
Literatur
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung